Períodos e algebricidade

• Processo: 20/15804-1
• Modalidade de apoio: Auxílio à Pesquisa - Jovens Pesquisadores
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Tiago Jardim da Fonseca
• Beneficiário: Tiago Jardim da Fonseca
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Bolsa(s) vinculada(s): 24/03744-5 - Frações contínuas: uma introdução à teoria de aproximação diofantina., BP.IC; 23/09523-8 - Das integrais elípticas às curvas elípticas, BP.IC; 22/01885-5 - Grupos fundamentais em geometria algébrica, BP.MS; 21/10872-1 - Períodos e algebricidade, BP.JP
• Assunto(s): Teoria dos números Geometria algébrica Cohomologia Transcendência Funções de Green Variedades abelianas
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Algebricidade | Cohomologia | Curvas modulares | Formas Modulares | Periodos | Transcendência | Teoria dos Números, Geometria Algébrica

Resumo

Este projeto é dedicado a alguns problemas de algebricidade sobre períodos, reunindo aspectos algebro-geométricos e aritméticos. Períodos são números complexos que se escrevem como integrais de formas diferenciais algébricas. Conjectura-se que períodos são em sua maioria números transcendentes, mas seu estudo é de extrema importância em teoria algébrica dos números, pois eles aparecem como valores especiais de funções L. Gostaríamos de entender, por exemplo, se um dado período é um número algébrico (ou o logaritmo de um número algébrico), as relações algébricas satisfeitas por períodos, “suas simetrias’', etc. Frequentemente, a relação entre a teoria de períodos com a Geometria Algébrica nos permite apoiar-nos em métodos geométricos para obter resultados aritméticos. Trataremos dos seguintes problemas: (i) valores especiais de funções de Green superiores e a conjectura de Gross-Zagier (em colaboração com Francis Brown); (ii) conjecturas de transcendência sobre períodos univaluados; (iii) interpretação motívica de polilogaritmos elípticos múltiplos (em colaboração com Nils Matthes). Nossa abordagem é essencialmente geométrica e envolverá ferramentas como: cohomologia de Rham algébrica, moduli stacks de curvas elípticas, grupos fundamentais pro-unipotentes, motivos de formas modulares e extensões vetoriais universais de variedades abelianas. (AU)