Sub-variedades Lagrangeanas: teoria de Gromov-Witten aberta e Mirror Symmetry

• Processo: 24/01351-6
• Modalidade de apoio: Auxílio à Pesquisa - Jovens Pesquisadores
• Vigência: 01 de julho de 2024 - 30 de junho de 2029
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Renato Ferreira de Velloso Vianna
• Beneficiário: Renato Ferreira de Velloso Vianna
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Assunto(s): Geometria simplética Subvariedades Lagrangianas efetivas Simetria especular
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Geometria Simplética | Mirror Symmetry | Sub-variedades Lagrangeanas | Geometria Simplética

Resumo

O projeto encontra-se na subárea da matemática denominada geometria simplética. Objetos geométricos são chamados de variedades. Em geometria simplética, subvariedades Lagrangeanas tem um papel crucial celebrado pelo famoso credo de Weinstein "Tudo é uma Lagrangeana", sugerindo que todos os problemas em geometria simplética deveriam ser traduzido em um problema envolvendo Lagrangeanas. Em particular, por Strominger-Yau-Zaslow (SYZ), fibrações Lagrangeanas estão no centro da explicação geométrica da recente e prolífica área de estudo 'mirror symmetry', que relaciona objetos da geometria simplética com da geometria algébrica. A teoria de Gromov-Witten aberta, que corresponde ao entendimento de discos pseudo-holomórfos com fronteiras em um dado Lagrangeano, é a principal ferramenta na abordagem recente para compreensão de Lagrangeanas. Este projeto contém 4 subprojetos principais que envolvem classificação de Lagrangeanas e o estudo de fibrações Lagrangeanas em diversos tipos de variedades simpléticas com um amplo leque de aplicações em geometria simplética e mirror symmetry. Esses projetos são realizados em colaborações internacionais com pesquisadores renomados, e em um deles, em colaboração com estudante de pós-doutorado. Também contém uma lista de projetos futuros que podem se tornar trabalhos de estudantes de doutorado, ou pesquisa de pós-doutorado. Assim, este projeto contribui para os esforços de internacionalização da USP, bem como para a formação de estudantes do programa de pós-graduação. Explicitamente, os principais projetos contemplam: classificação de toros Lagrangeanos em CP^2; aplicações do invariante Psi para fluxos Lagrangeanos e não-obstrução de fibras SYZ; Fórmula de Lefschetz quântica para Lagrangeanas; mirror symmetry em suavizações de cones algébricos. Demonstrei a existência de infinitos (a menos de simplectomorfismo) toros Lagrangeanos monótonos em CP^2 e posteriormente em todas as superfícies de del Pezzo, que são todas variedades simpléticas monótonas em dimensão real 4. Esse foi o primeiro exemplo de infinitas Lagrangeanas não equivalentes em variedades simpléticas compactas e inspirou vários trabalhos futuros, vide citações. Porém, classificação de toros Lagrangeanos é um trabalho extremamente difícil, apenas desenvolvido em alguns casos por Dimitroglou-Rizell e colaboradores. Assim, o primeiro projeto tem grande relevância na área, embora longo e de difícil execução. Dito isto, um resultado de Tonkonog implica que o potencial, que é o invariante usado para distinguir Lagrangeanas monótonas a menos de simplectomorfismo, de qualquer toro Lagrangeano monótono em CP^2 tem que coincidir com o potencial de algum dos toros por mim construídos. Fixado uma estrutura quase-complexa J, podemos determinar o potencial de uma subvariedade Lagrangeana. Porém, para Lagrangeanas não monótonas, o potencial, em geral, varia com a escolha de J. O invariante Psi, formalizado por Shelukhin-Tonkonog-V., extrai os elementos invariantes do potencial. Para além de distinguir entre Lagrangeanas, este invariante pode ser usado para entender isotopias Lagrangeanas e, consequentemente, formatos maximais de vizinhanças tubulares de Lagrangeanas. No segundo subprojeto, buscamos mostrar uma aplicação profunda de como a variação de \Psi em isotopias Lagrangeanas implica na não-obstrução de fibras SYZ em variedades Calabi-Yau. O terceiro projeto descreve a fórmula relaciona potenciais para Lagrangeana em hiperfície simplética e seu levantamento de Biran para uma Lagrangeana na variedade inicial, dada certas hipóteses. Provê o cálculo de potências para Lagrangeanas em diversas dimensões (eg CP^n), e, portanto, novas ramas de exemplos de infinitos toros Lagrangeanos. O quarto projeto pretende usar o estudo de fibrações Lagrangeanas em suavizações de cones algébricos, tema da tese do meu estudante Achig-Andrango, para a obtenção de resultados de mirror symmetry nessas variedades. (AU)