Conjecturas homológicas, álgebra comutativa e suas conexões com geometria

• Processo: 25/20830-5
• Modalidade de apoio: Auxílio à Pesquisa - Pesquisador Visitante - Brasil
• Data de Início da vigência: 30 de julho de 2026
• Data de Término da vigência: 29 de julho de 2027
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Josnei Antonio Novacoski
• Beneficiário: Josnei Antonio Novacoski
• Pesquisador visitante: Thiago Henrique de Freitas
• Instituição do Pesquisador Visitante: Campus Guarapuava/Utfprgpv/Utfpr , Brasil
• Instituição Sede: Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia (CCET). Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR). São Carlos , SP, Brasil
• Município da Instituição Sede: São Carlos
• Assunto(s): Anéis e álgebras comutativos
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Conexões com Geometria Algébrica | Problemas Homológicos | Teoria de Valorizações | Álgebra comutativa

Resumo

Apresentaremos aqui uma proposta completa de atuação do proponente a ser pesquisador visitante junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFSCAR - São Carlos. Objetivamos desenvolver 6 projetos de pesquisa simultaneamente durante a vigência da proposta. Estes, por sua vez, estão inseridos em 2 projetos "guarda-chuva" que têm como pilares principais a álgebra comutativa e a geometria algébrica.O primeiro projeto guarda-chuva, de cunho algébrico, tem 3 projetos embutidos, que objetivam investigar a estrutura e relações da teoria de anéis de produto fibra e a teoria de valorizações de anéis, temas estes de domínio do proponente e do supervisor da proposta. Além disso, desejamos investigar as famosas conjecturas homológicas: Auslander-Reiten, Huneke-Wiegand e Total Rank para anéis de produto fibra, quasi-produto fibra e somas conexas. Estes persistentes problemas em aberto têm tido atenção especial nas últimas 3 décadas.Com uma vertente geométrica, com o foco agora voltado à Geometria algébrica/Teoria de Singularidades, propomos nosso segundo projeto guarda-chuva, este agora com mais 3 projetos inseridos. O primeiro deles visa investigar o comportamento da (quasi)colagem e somas conexas de espaços analíticos complexos e seus invariantes. Apesar de a primeira vista esta proposta esteja distante do projeto anterior, geometricamente a (quasi)colagem e somas conexas de espaços analíticos estão intimamente ligadas ao conceito algébrico de anéis produto fibra. Sendo assim, o completo domínio das ferramentas algébricas presentes na primeira proposta será crucial para os avanços pretendidos aqui.Além disso, pretendemos investigar os famosos números de Betti da colagem, quasi-colagem e somas conexas de espaços analíticos complexos e quais informações estes números podem fornecer sobre a estrutura geométrica da colagem em questão. Por fim, propomos um projeto que une as ferramentas e investigações realizadas previamente. Nele, temos como foco investigar o módulos de diferenciais de Kahler e derivações, afim de dar respostas para alguns dos latentes problemas em aberto dentro da teoria de valorizações, bem como as principais conjecturas geométricas existentes sobre estes temas e estabelecer conexões com os temas já tratatos nos projetos anteriores. (AU)