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Problema de Cauchy para operadores diferenciais parciais fracamente hiperbólicos

Processo: 07/00540-4
Linha de fomento:Auxílio à Pesquisa - Regular
Vigência: 01 de junho de 2007 - 31 de maio de 2009
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Análise
Pesquisador responsável:Marcelo Rempel Ebert
Beneficiário:Marcelo Rempel Ebert
Instituição-sede: Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto (FFCLRP). Universidade de São Paulo (USP). Ribeirão Preto , SP, Brasil
Assunto(s):Equações diferenciais parciais 

Resumo

Em Matemática e Aplicações o estudo da estabilidade, ou seja da dependência contínua em relação a dados iniciais e parâmetros é essencial para termos certeza quando bons modelos matemáticos são obtidos, uma vez que quando pequenos êrros de medida sãocometidos o resultado pode divergir do esperado caso não tenhamos estabelecido alguma propriedade de continuidade. Antes de tudo para abordar tais questões precisamos considerar problemas para os quais sabemos que unicidade e existência esteja estabelecida. No contexto de equações diferenciais parciais lineares escalares o matemático francês Augustin Cauchy propôs o análogo ao, já então muito conhecido, problema de valor inicial para equações diferenciais ordinárias. O problema proposto por Cauchy foi o de procurar por soluções u de Pu=f, para f suave, cujo traço (="restrição") de u seja conhecido em uma hipersuperfície não-característica. Em seu livro publicado em 1923, Jacques Hadamard considera o Problema de Cauchy para equações diferenciais parciais lineares; propôs exigir três propriedades, i) unicidade, ii) existência e iii) dependência contínua nos dados do problema. Se tais condições são satisfeitas ele denominou que o problema de Cauchy é bem posto. Uma classe geral foi então apresentada por Hadamard, a agora conhecida como a dos operadores estritamente hiperbólicos, esta classe difere grandemente da dos operadores elíticos pois para esta última os valores de fronteira toma o lugar de valores iniciais;uma grande diferença entre elas é que a hipersuperfície é usualmente tomada compacta para as elíticas e não-compacta para as hiperbólicas, bem como a noção de traço toma outra forma. Hadamard demonstrou que para o laplaceano o problema de Cauchy não é bem posto. Em 1957, P. Lax demonstrou que no caso linear se valem i) e ii) segue iii). Em vista do Teorema de Hölmgren, que afirma que no caso linear com coeficientes analíticos, mesmo sem a hipótese do traço ser analítico, a solução é única, segue que no caso do laplaceano falha antes de tudo ii). A não validade de ii) segue ao observarmos que soluções homogêneas são analíticas e portanto o traço não pode ser arbitrário. Em 1961, devido aos esforços de P. Lax e S. Mizohata foi possível demonstrar o hoje conhecido teorema de Lax-Mizohata, tal resultado afirma que uma condição necessária para que o problema de Cauchy seja bem posto é que o operador seja fracamente hiperbólico, na época denominado por hiperbólico.Hoje em dia muito se sabe para o caso de equações escalares lineares, alguns dos resultados foram obtidos nas últimas três décadas do século passado. Já para equações escalares não lineares e por conseguinte para sistemas de equações diferenciais parciais não-lineares, o desenvolvimento das questões de existência e unicidade para problemas de Cauchy encontram-se defasados com os avanços do caso escalar linear.Neste projeto estamos interessados em obter extensões de alguns destes resultados, enfatizando dois aspectos: o da passagem de uma equação escalar para sistemas e do caso linear para o não-linear. (AU)