Marina Talet | Université de Provence - França

• Processo: 08/00071-7
• Modalidade de apoio: Auxílio à Pesquisa - Pesquisador Visitante - Internacional
• Vigência: 15 de julho de 2008 - 28 de agosto de 2008
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática
• Pesquisador responsável: Albert Meads Fisher
• Beneficiário: Albert Meads Fisher
• Pesquisador visitante: Marina Talet
• Inst. do pesquisador visitante: Université de Provence, França
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Assunto(s): Sistemas dinâmicos (matemática) Intercâmbio de pesquisadores
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Brownian Motion | Central Limit Theorem | Log Density | Mittag-Leffler Process | Renewal Process | Stable Process | Sistemas Dinamicos e Teoria Ergodica

Resumo

Nós vamos trabalhar no seguinte projeto: “Estrutura auto-semelhante de tempos de retorno para aplicações do intervalo com ponto fixo neutral”; isto faz parte da parte 4,2 de nosso Projeto Temático. As aplicações sendo estudados formam uma família parametrizada de aplicações do intervalo; considerando os subconjuntos dos inteiros dados pelos tempos de retorno ao um subintervalo, estudamos como a “geometria” destes conjuntos e afetada por uma mudança de parâmetro. A observação dos autores e que estes conjuntos exibem uma certa auto-semelhança estatística, e que o tipo de auto-semelhança observado no limite passa por três ”fases”, análogos ao uma mudança de fase na física. A primeira caso, e o mais fácil de estudar, ocorre quando \alpha> 2; o processo achado no limite e o movimento Browniano. Para “distribuições de tempo 1” isto corresponde ao fato que o número N_n de retornos e, depois centralização e normalização, assintoticamente Gaussiano, isto e, temos simplesmente a Teorema de Limite Central. Isto e bem conhecido; uma das provas foi dado num artigo do Fisher com Artur Lopes do UFRGS, de 2001 em Nonlinearity. Neste projeto estudamos, com métodos totalmente diferentes, todos os valores do parâmetro \alpha > 0. Um ponto importante e que a medida invariante natural passa de uma medida finito para \alpha> 1 a ser infinito enquanto 0< \alpha < 1. Neste caso a geometria dos conjuntos de retorno exibem uma estrutura “fractal”, com uma “dimensão” relacionado ao parâmetro. Nosso alvo principal e de melhor compreender a transição de medida finito ao infinito, por meio da estrutura destes conjuntos de retorno. Assim, mostramos que o processo estocástico achado no limite agora passa pelas seguintes três fases: Browniano para \alpha> 2, depois os processos estáveis completamente assimétricos para 1 < \alpha < 2, depois os processos Mittag- Leffler enquanto 0 < \alpha < 1. Esta última e a fase fractal. Mas em todos os casos há um auto-similaridade, dados pelos processos estocásticos ditos. O tipo de resultado comprovado e um “almost-sure invariance principle in log density”. As ferramentas técnicas necessárias são desenvolvidas em dois artigos de Talet e Fisher, quais foram completados agora (em junho de 2008). (AU)