Estabilidade de colchetes de Lie e seus morfismos

• Processo: 13/16753-8
• Modalidade de apoio: Auxílio à Pesquisa - Regular
• Vigência: 01 de outubro de 2013 - 30 de setembro de 2015
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Ivan Struchiner
• Beneficiário: Ivan Struchiner
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Assunto(s): Algebroides de Lie Cohomologia Variedades simpléticas
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Algebróides de Lie | Cohomologia | deformações | estabilidade | rigidez | Variedades de Poisson | Geometria de Poisson

Resumo

Um problema central da geometria é o de entender como estruturas geométricas se comportam sob deformações. Rigidez de uma estrutura geométrica significa que toda outra estrutura geometrica do mesmo tipo que esteja suficientemente próxima a estrutura original é equivalente a ela. Este fonômeno já foi observado em diversas geometrias clássicas, onde geralmente ele forneceu informação indispensável ao funcionamento interno destas estruturas. Isto se torna evidente olhando para os exemplos provenientes da Geometria Complexa (Kodaira-Spencer), Geometria Simplética (Darboux-Moser), Álgebras de Lie (Nijenhuis-Richardson), Teoria de Folheações (Hamilton) e Teoria de Singularidades (Mather). Apesar desta abordagem à geometria diferencial ter si provado tão fértil, até muito recentemente não existia um contexto geral sob a qual esta estratégia poderia ser sistematicamente investigada - um contexto abrangente o suficiente para englobar todos os exemplos onde este método foi bem sucedido, e que ao mesmo tempo pudesse guiar a investigação das propriedades das deformações de geometrias onde pouco ou nenhuma rigidez é conhecida. Propomos umas tal descrição geral em termos de algebróides de Lie. Nosso objetivo é o de unificar as teorias clássicas (e aparentemente não relacionadas) mencionadas acima, e ao mesmo tempo criar ferramentas para descobrir fenômenos de rigidez em estruturas onde suas aparições são raras e obtidas de forma ad hoc (e.g., estruturas de Poisson).A pesquisa será dividida em três etapas. A primeira é determinar a condição infinitesimal para estabilidade de morfismos de algebróides de Lie. Em geral, isto se traduz no anulamento de uma cohomologia, e é esta teoria de cohomologia que buscaremos nesta etapa. A segunda é determinar quando a condição infinitesimal implica em estabilidade de fato. Espera-se que esta seja a etapa mais difícil e técnica, sendo necessário utilizar alguma versão do teorema da função implícita (e.g., o Teorema de Nash-Moser). Na última etapa iremos aplicar estes resultados a diversos exemplos. (AU)

Publicações científicas

(Referências obtidas automaticamente do Web of Science e do SciELO, por meio da informação sobre o financiamento pela FAPESP e o número do processo correspondente, incluída na publicação pelos autores)

CRAINIC, MARIUS; SCHATZ, FLORIAN; STRUCHINER, IVAN. A survey on stability and rigidity results for Lie algebras. INDAGATIONES MATHEMATICAE-NEW SERIES, v. 25, n. 5, SI, p. 957-976, OCT 2014. (13/16753-8)

CRAINIC, MARIUS; MESTRE, JOAO NUNO; STRUCHINER, IVAN. Deformations of Lie Groupoids. INTERNATIONAL MATHEMATICS RESEARCH NOTICES, v. 2020, n. 21, p. 7662-7746, NOV 2020. (13/16753-8)

CRAINIC, MARIUS; SCHATZ, FLORIAN; STRUCHINER, IVAN. A survey on stability and rigidity results for Lie algebras. INDAGATIONES MATHEMATICAE-NEW SERIES, v. 25, n. 5, p. 20-pg., 2014-10-01. (13/16753-8)