Unidades em ordens de algebras com aplicacoes em aneis de grupo, aneis de semi-gr...
Unidades em anéis de grupo, anéis de semigrupo e ordens em álgebras de dimensão fi...
| Processo: | 14/06325-1 |
| Modalidade de apoio: | Auxílio à Pesquisa - Regular |
| Data de Início da vigência: | 01 de outubro de 2014 |
| Data de Término da vigência: | 30 de setembro de 2016 |
| Área do conhecimento: | Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra |
| Pesquisador responsável: | Antonio Calixto de Souza Filho |
| Beneficiário: | Antonio Calixto de Souza Filho |
| Instituição Sede: | Escola de Artes, Ciências e Humanidades (EACH). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil |
| Assunto(s): | Anéis Grupos hiperbólicos |
| Palavra(s)-Chave do Pesquisador: | aneis | aneis de grupo | grupos | hiperbolicidade | imersão de grupos abelianos livres | ordens | unidades | Grupos, Anéis, Anéis de Grupo, Álgebras de Dimensão Finita |
Resumo
Os grupos hiperbólicos foram inicialmente definidos por Gromov em \cite{grmv}, a partir do conceito de espaço métrico hiperbólico. Dado um grupo finitamente gerado, é possível construir uma métrica que, associada ao grafo de Cayley desse mesmo grupo, define um espaço métrico. Um grupo é hiperbólico se seu grafo de Cayley for um espaço métrico hiperbólico. Em \cite{jpp} são estudados os grupos finitos cujo grupo de unidades do anel de inteiros do grupo seja um grupo hiperbólico. O teorema conhecido por {\it Flat Plane Theorem} é essencial na caracterização dos grupos feita naquele artigo. Tal estratégia mostra que é importante conhecer o posto livre abeliano de um grupo, isto é, qual o maior posto livre de um grupo abeliano que pode ser imerso neste grupo. A partir dessa abordagem muitas questões passaram a ser investigadas, surgindo novos problemas relativos à hiperbolicidade de grupos de unidades de $\Z$-ordens de álgebras de dimensão finita, em particular álgebras de grupo sobre corpos. Deste modo, foram classificados os anéis de inteiros algébricos de extensões quadráticas racionais, bem como os grupos finitos cujo grupo de unidades do anel de grupo seja um grupo hiperbólico \cite{jpsf}. Associado a esta questão e sua solução, também foram classificadas as álgebras de dimensão finita cujo grupo de unidades de toda $\Z$-ordem da álgebra seja um grupo hiperbólico, tanto para as álgebras semi-simples, quanto para as álgebras com radical não nulo, \cite{ijsf}. A partir dos resultados obtidos, verificamos que a mesma abordagem seria possível para estruturas algébricas como semigrupos e loops, porém com a necessidade de definir para tais estruturas a idéia de {\it Propriedade Hiperbólica} relacionada diretamente com o Flat Plane Theorem. Assim, também foram caracterizados os semigrupos finitos cuja álgebra de semigrupos tenha a propriedade hiperbólica \cite{ijsf,ijsii}, bem como os loops cujo loop de unidade satisfaça esta mesma propriedade \cite{jsfAA}. Neste mesmo programa de pesquisa, a partir de um resultado de Gromov para grupos livres em grupos hiperbólicos, em \cite{jsf} foram obtidos pares de unidades que geram um grupo livre em $\Z$-ordens da álgebra de quatérnios sobre extensões quadráticas. Este resultado foi possível porque, segundo as técnicas em \cite{jpsf}, para essa classe de álgebras são construídas duas novas classes de unidades: as unidades de Pell e as unidades de Gauss. O aspecto destas unidades, juntamente com o artigo \cite{cjlr} iniciaram uma nova investigação sobre a possibilidade de extender os resultados deste artigo, entre eles de considerar outros casos para o anel de inteiros da extensão quadrática analisada no artigo. Obtivemos conjuntos de geradores do grupo de unidades, daquela $\Z$-ordem, para $d=-15$ e $d=-23$, entre outros progressos \cite{geoag,geo}. (AU)
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