Busca avançada
Ano de início
Entree

Auto-similaridade e a transição das medidas finitas para as infinitas em sistemas dinâmicos

Processo: 15/00037-7
Linha de fomento:Auxílio à Pesquisa - Pesquisador Visitante - Internacional
Vigência: 16 de fevereiro de 2015 - 15 de fevereiro de 2016
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática
Pesquisador responsável:Albert Meads Fisher
Beneficiário:Albert Meads Fisher
Pesquisador visitante: Marina Talet
Inst. do pesquisador visitante: Aix-Marseille Université (AMU), França
Instituição-sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
Vinculado ao auxílio:11/16265-8 - Dinâmica em baixas dimensões, AP.TEM

Resumo

O tema central deste projeto é o estudo do comportamentoassintoticamente auto-similar de tempos de retorno, para três bem diferentes tipos de sistemas dinâmicos: (1) Estudamos uma família parametrizada de aplicações do intervalo com um ponto fixo neutro; o objetivo é completar umartigo sobre isso em conjunto com A. Lopes e M. Talet.Vemos três fases distintas de comportamento para a família,dependendo do valor do parâmetro ±>0, cada umregulado por um processo auto-similar: browniano para ±> 2, ±-estável para ± (1 , 2),e Mittag-Leffler de índice ± para ± (0,1). Provamos, em todos oscasos, um princípio de invariância quase-certo em densidadelogarítmica (p.i.q.c (log)) para o número de voltas a um subintervalo. Na fase gaussiana a variância do tempo de retornoé finita; ela torna-se infinita na fase estável, e na fase Mittag-Leffler tanto o tempo esperado de retorno e a medida invariante natural são infinitos. Nessa última fase os tempos de retorno formam um subconjunto fractal dos inteiros, dedimensão ±, no sentido de Bedford e Fisher, Proc. London Math. Soc., '92.Nós usamos esse p.i.q.c. (log) para provar, nessa fase, um teoremaergódico de ordem dois no sentido de Aaronson, Denker, e Fisher, Proc. AMS, '92.Este artigo irá completar um círculo de trabalhos iniciado por um estudodas fases ± (1, 2) e (2, ) por Fisher e Lopes, Nonlin. '01,onde provamos o decaimento polinômialde correlação, e, na fase (2, ), um TCL. No trabalho novo, utilizamos métodos completamente diferentes, desenvolvidos em três artigos por Fisher e Talet, Ann. de l' IHP Prob. et Stat. '12, Electr. J. Prob. '11, and J. d'Analyse Math. '14. (2) Nesta parte do projeto encontramos exemplos bem diferentes também com conjuntos de tempo de retorno de tipo fractal, e também commedidas infinitas. O objetivo imediato aqui é completar dois artigos. Noprimeiro destes (agora em fase final de redação) estudamos astransformações adicas introduzidas por Vershik, classificando as medidas invariantes que sãofinitas em algum subdiagrama de Bratteli. Isso amplia teoremas de Fisher,Stoch. and Dyn. '09,e Ferenczi, Fisher, Talet J. d'Analyse Math. '09,bem como resultados de Bezuglyi, Kwiatkowski, Medynets,Solomyak de '10 e '11.No segundo novo artigo, aplicamos estesresultados para classificar as transformações de tipo corte-e-empilhamento;introduzimos uma classe de exemplos, rotações do círculo encaixadas, para a qual damos uma condição necessária e suficiente para a finitudeda medida. Também provamos, para alguns casos, um teorema ergódico de ordem dois. Este último resultado baseia-se noFisher ETDS '92, e no artigo de Medynets e Solomyak '14. Umoutro objetivo é estender este último resultado para o caso geral.(3) Aqui o objetivo é obter resultados relacionados a (1)-(2) para omovimento browniano com deriva em um meio browniano unidimensional. Este modelo foi introduzido em 1982, eexibe dois níveis de estocasticidade. Condicionalmente a umarealização do meio, o caso quenched, omovimento browniano em um meio browniano é um processo de Markov. Mas depois de tomar a média sobre o meio, o caso annealed, o processonão é, geralmente, markoviano. Teoremas limites annealed foram provados por Brox'82 no caso recorrente com deriva nula e por Kawazu e Tanaka '96, '97, '98, Hu,Shi e Yor '99, no caso transiente com deriva nao nula. Nos amboscontestos quenched e annealed, teoremas de grandes desvios foram obtidos porTalet (Ann. Prob.'01) e desvios moderados por Hu e Shi '04.Tendo em vista os trabalhos previamente mencionados, provamosrecentemente um resultado intermediário o que nós leva a acreditar apossibilidade de usar e adaptar as técnicas desenvolvidas em Fisher-Talet'12 a fim de obter resultados análogos para omovimento browniano com deriva em um meio browniano, começando com o caso gaussiano. (AU)