Auto-similaridade e a transição das medidas finitas para as infinitas em sistemas dinâmicos

• Processo: 15/00037-7
• Modalidade de apoio: Auxílio à Pesquisa - Pesquisador Visitante - Internacional
• Vigência: 16 de fevereiro de 2015 - 15 de fevereiro de 2016
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática
• Pesquisador responsável: Albert Meads Fisher
• Beneficiário: Albert Meads Fisher
• Pesquisador visitante: Marina Talet
• Inst. do pesquisador visitante: Aix-Marseille Université (AMU), França
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 11/16265-8 - Dinâmica em baixas dimensões, AP.TEM
• Assunto(s): Comportamento assintótico Sistemas dinâmicos Movimento browniano Medida de Hausdorff Intercâmbio de pesquisadores
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: a | adic transformation | Brownian Motion | Clt | diffusion in random media | Hausdorff measure | i | indifferent fixed point | infinite invariant measure | interval exchange | local time | Mittag-Leffler process | order-two ergodic theorem | p | renewal process | s | Skorokhod topology | stable process | substitution dynamical system | Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica; Probablidade

Resumo

O tema central deste projeto é o estudo do comportamento assintoticamente auto-similar de tempos de retorno, para três bem diferentes tipos de sistemas dinâmicos: (1) Estudamos uma família parametrizada de aplicações do intervalo com um ponto fixo neutro; o objetivo é completar um artigo sobre isso em conjunto com A. Lopes e M. Talet. Vemos três fases distintas de comportamento para a família,dependendo do valor do parâmetro ±>0, cada um regulado por um processo auto-similar: browniano para ±> 2, ±-estável para ± (1 , 2),e Mittag-Leffler de índice ± para ± (0,1). Provamos, em todos os casos, um princípio de invariância quase-certo em densidade logarítmica (p.i.q.c (log)) para o número de voltas a um subintervalo. Na fase gaussiana a variância do tempo de retorno é finita; ela torna-se infinita na fase estável, e na fase Mittag-Leffler tanto o tempo esperado de retorno e a medida invariante natural são infinitos. Nessa última fase os tempos de retorno formam um subconjunto fractal dos inteiros, de dimensão ±, no sentido de Bedford e Fisher, Proc. London Math. Soc., '92. Nós usamos esse p.i.q.c. (log) para provar, nessa fase, um teorema ergódico de ordem dois no sentido de Aaronson, Denker, e Fisher, Proc. AMS, '92.Este artigo irá completar um círculo de trabalhos iniciado por um estudo das fases ± (1, 2) e (2, ) por Fisher e Lopes, Nonlin. '01,onde provamos o decaimento polinomial de correlação, e, na fase (2, ), um TCL. No trabalho novo, utilizamos métodos completamente diferentes, desenvolvidos em três artigos por Fisher e Talet, Ann. de l' IHP Prob. et Stat. '12, Electr. J. Prob. '11, and J. d'Analyse Math. '14. (2) Nesta parte do projeto encontramos exemplos bem diferentes também com conjuntos de tempo de retorno de tipo fractal, e também com medidas infinitas. O objetivo imediato aqui é completar dois artigos. No primeiro destes (agora em fase final de redação) estudamos as transformações adicas introduzidas por Vershik, classificando as medidas invariantes que são finitas em algum subdiagrama de Bratteli. Isso amplia teoremas de Fisher,Stoch. and Dyn. '09,e Ferenczi, Fisher, Talet J. d'Analyse Math. '09, bem como resultados de Bezuglyi, Kwiatkowski, Medynets, Solomyak de '10 e '11.No segundo novo artigo, aplicamos estes resultados para classificar as transformações de tipo corte-e-empilhamento; introduzimos uma classe de exemplos, rotações do círculo encaixadas, para a qual damos uma condição necessária e suficiente para a finitude da medida. Também provamos, para alguns casos, um teorema ergódico de ordem dois. Este último resultado baseia-se no Fisher ETDS '92, e no artigo de Medynets e Solomyak '14. Um outro objetivo é estender este último resultado para o caso geral.(3) Aqui o objetivo é obter resultados relacionados a (1)-(2) para o movimento browniano com deriva em um meio browniano unidimensional. Este modelo foi introduzido em 1982, e exibe dois níveis de estocasticidade. Condicionalmente a uma realização do meio, o caso quenched, o movimento browniano em um meio browniano é um processo de Markov. Mas depois de tomar a média sobre o meio, o caso annealed, o processo não é, geralmente, markoviano. Teoremas limites annealed foram provados por Brox'82 no caso recorrente com deriva nula e por Kawazu e Tanaka '96, '97, '98, Hu,Shi e Yor '99, no caso transiente com deriva não nula. Nos ambos contextos quenched e annealed, teoremas de grandes desvios foram obtidos por Talet (Ann. Prob.'01) e desvios moderados por Hu e Shi '04.Tendo em vista os trabalhos previamente mencionados, provamos recentemente um resultado intermediário o que nós leva a acreditar a possibilidade de usar e adaptar as técnicas desenvolvidas em Fisher-Talet'12 a fim de obter resultados análogos para o movimento browniano com deriva em um meio browniano, começando com o caso gaussiano. (AU)