Subvariedades de s^n x r e h^n x r.

• Processo: 07/05252-7
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de novembro de 2007
• Data de Término da vigência: 31 de julho de 2010
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Ruy Tojeiro de Figueiredo Junior
• Beneficiário: Bruno Mendonça Rey dos Santos
• Instituição Sede: Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia (CCET). Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR). São Carlos , SP, Brasil
• Assunto(s): Geometria diferencial
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: austere submanifolds | DDVV inequality | desigualdade DDVV | elipse de curvatura | subvariedades austeras | superfícies superconformes | Geometria Diferencial

Resumo

De Smet, Dillen, Verstraelen e Vrancken provaram uma desigualdade, agora conhecida como a desigualdade DDVV, envolvendo a curvatura escalar, a curvatura escalar normal introduzida em [13] (ver projeto) e a norma do vetor curvatura média de uma subvariedade de codimensão dois de uma forma espacial. Tal desigualade também já foi provada para diversas classes especiais de subvariedades, em particular para subvariedades de dimensão três e codimensão arbitrária, e em [13] foi conjecturada sua validade para qualquer subvariedade de uma forma espacial. O caso da igualdade na desigualdade DDVV foi também considerado em [13], tendo sido determinada a estrutura da segunda forma fundamental em cada ponto de uma tal subvariedade. No entanto, uma classificação geométrica não foi obtida. Para n=2, a igualdade na desigulade DDVV é equivalente a dizer que a elipse de curvatura E(x) de f em x é um círculo.Uma construção explícita de todas as imersões isométricas f: M^n \to R^{n+2}, sem pontos umbílicos e mínimos, que satisfazem a igualdade na desigualdade DDVV, em particular de todas as superfícies superconformes em $\Bbb{R}^4$ (aquelas cujas elipses de curvatura são círculos em todos os pontos) sem pontos umbílicos e mínimos, foi obtida recentemente em [9] e [10] (ver projeto). Os principais objetivos deste projeto são: 1) Classificar as subvariedades não-mínimas de dimensão n=3 que satisfazem a igualdade em DDVV em todos os pontos; 2) fornecer uma descrição das superfícies de codimensão arbitrária cuja elipse de curvatura é um círculo em qualquer ponto; 3) investigar outros casos da desigualdade DDVV.