Sobre novas representações para partições

• Processo: 12/01258-9
• Modalidade de apoio: Bolsas no Exterior - Pesquisa
• Data de Início da vigência: 10 de julho de 2012
• Data de Término da vigência: 19 de dezembro de 2012
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática
• Pesquisador responsável: José Plínio de Oliveira Santos
• Beneficiário: José Plínio de Oliveira Santos
• Pesquisador Anfitrião: George E. Andrews
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Instituição Anfitriã: Pennsylvania State University, Estados Unidos
• Assunto(s): Matemática discreta Combinatória
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Combinatorial Identities | Partitions | q-séries | Rogers-Ramanujan Identities | Matematica Discreta -Combinatoria

Resumo

Em trabalho iniciado por volta de 2000/2001 obtivemos algumas interpretações para partições através da análise de certas equações funcionais obtidas pela introdução de alguns parâmetros em identidades do tipo Rogers-Ramanujan. Posteriormente percebemos que seria muito conveniente que escrevêssemos tais representações na forma matricial (two-line arrays). Dentre os primeiros resultados obtivemos 3 interpretações distintas para partições irrestritas com uma simples bijeção entre estas partições e as matrizes correspondentes apenas para uma delas. Pouco tempo depois obtivemos as correspondentes bijeções para as duas outras interpretações. Devo mencionar que através destas novas representações nos foi possível aplicar, por exemplo, para fornecer nova demonstração para um interessante resultado, dado por Andrews, relacionado "to three quadrant Ferrers graphs". Destaco ainda o fato de que sabemos como obter tais interpretações "as two-line arrays" de duas formas diferentes. Uma vantagem desta interpretação é o fato de que ela nos permite a construção de famílias q-análogas de polinômios para partições irrestritas e para todas as outras interpretações para as quais podemos obter as correspondentes matrizes. Uma forma de se construir tais q-análogos é através das áreas delimitadas pelos caminhos reticulados que se pode construir fazendo-se uso destas representações matriciais. Isto é semelhante ao que foi feito por Polya para uma interpretação dos polinômios de Gauss que são q-análogos dos números binomiais. Gostaria de destacar o fato de termos obtido interpretações combinatórias para todas as Mock Theta Functions em termos de matrizes de duas linhas através deste método. Pretendemos continuar trabalhando nesta linha e nas várias questões de natureza combinatória envolvendo identidades do tipo Rogers-Ramanujan e outras questões de combinatória enumerativa. Neste sentido menciono uma interessante aplicação de funções geradoras na enumeração de "(0,1) symmetric matrices" com uma dada soma para as entradas em cada linha. Isto foi feito recentemente e é parte de um novo paper em fase final de preparação. (AU)