Geometria finita, curvas algébricas e Aplicações à teoria de códigos

• Processo: 12/03526-0
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
• Vigência (Início): 01 de outubro de 2012
• Vigência (Término): 11 de setembro de 2015
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Herivelto Martins Borges Filho
• Beneficiário: Nicola Pace
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Algebraic curves | Arcs | Coding Theory | finite fields | Geometria Finita/Curvas Algébricas

Resumo

Geometria Finita e suas aplicações tem sido amplamente investigada desde a década de 1960. Entretanto o estudo de objetos não lineares foi iniciado por Beniamino Segre ainda na década de 1950. Seu trabalho pioneiro estabeleceu a base para estudo de objetos como ovais, unitais, arcos, caps, ovoides e partições em subgeometrias. O trabalho de Segre motivou uma pesquisa mais extensiva e muitos problemas ainda estão em aberto e são profundamente investigados.Nesse projeto propomos um estudo combinatório de objetos não lineares com uma ênfase particular em métodos usando curvas algébricas sobre corpos finitos. Em particular, planejamos investigar os seguintes tópicos.1.Curvas algébricas provenientes de arcos grandes viaa abordagem da conjectura de Segre. Planejamos trabalhar nos dois casos, arcos pequenos e grandes; em particular, em arcos que são órbitas de grupos de projetividade grandes. Nesse projeto, investigaremos as características geométricas das órbitas de alguns grupos esporádicos, como A5, A6 e PSL(2,7). Interessantemente o estabilizador de um ponto de um elemento de ordem 4 em PSL(2,7), visto como um grupo de projetividade de PG(2,q), é um 42-arco a menos de alguns valores esporádicos de q. Resultados similares podem ocorrer para A5 e A6, e nosso objetivo é investigar esse problema.Planejamos investigar o problema da existência de (q-1)-arcos completos em PG(2,q). Sabe-se que tais arcos existem para pequenos valores de q (q=7,9,11,13) e que não existem para q>79. Em nosso projeto, planejamos investigar os casos intermediários. Mais ainda, tentaremos determinar as curvas planas associadas a grandes arcos completos conhecidos.2.Curvas algébricas e (k,n)-arcos.Concentraremos em (k,n)-arcos obtidos a partir de curvas planas. Como sabe-se muito pouco sobre (k,n)-arcos, com exceção de casos extremos onde n=2,3,q-1 e q, também planejamos melhorar o conhecimentos dos casos intermediários. Possivelmente, obteremos novas construções e estudaremos os códigos lineares correspondentes.Baseado no caso Hermitiano e em outros exemplos esporádicos, é natural perguntar se todas as curvas planas não-singulares maximais tem a propriedade de arco. Responder essa pergunta é também parte do nosso objetivo nesse tópico da investigação.3.Arcos e unitais em PG(2,q) e suas aplicações em códigos lineares, códigos MDS e códigos quase-MDSCódigos quase-MDS podem ser investigados dentro de geometria projetiva finita como um código [n,k]_q quase-MDS visto como um conjunto de pontos C de tamanho n em PG(k-1,q), q=p^h, p primo, h=1, satisfazendo as seguintes condições:a) todo conjunto de k-1 pontos em C determina unicamente um hiperplano de PG(k-1,q); b) Existem k pontos de C em um hiperplano de PG(k-1,q);c) Quaisquer k+1 pontos em C geram PG(k-1, q).Usando essa abordagem, Abatangelo et al. analisaram o caso k=6,q=5. Planejamos usar essa abordagem para investigar o mesmo problema para outros corpos pequenos. Também tentaremos a mesma abordagem para valores adicionais (pequenos) de k.Finalmente, planejamos estudar códigos de Goppa cuja curva subjacente tem um grande grupo de automorfismos. Tal propriedade parece constituir uma vantagem concreta no desenvolvimento de algoritmos (eficientes) de decodificação por permutação. Códigos de Goppa são candidatos a códigos com muitos automorfismos, pois todo automorfismo da curva fixando o divisor D e o espaço de Riemann-Roch L(G), na construção de Goppa, é herdado pelo código. No nosso projeto, planejamos estudar essas propriedades algébricas em exemplos conhecidos.Esse tópicos serão investigados usando métodos geométricos, combinatórios e de teoria de grupos. Entretanto a natureza da nossa investigação também requer o uso de alguns softwares especializados como GAP e Magma, e o desenvolvimento ad-hoc de bibliotecas e subrotinas para verificação de conjecturas e estudos de casos particulares.

Publicações científicas

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(Referências obtidas automaticamente do Web of Science e do SciELO, por meio da informação sobre o financiamento pela FAPESP e o número do processo correspondente, incluída na publicação pelos autores)

PACE, NICOLA. New ternary linear codes from projectivity groups. DISCRETE MATHEMATICS, v. 331, p. 22-26, SEP 28 2014. (12/03526-0)

PACE, NICOLA; SONNINO, ANGELO. On linear codes admitting large automorphism groups. DESIGNS CODES AND CRYPTOGRAPHY, v. 83, n. 1, p. 115-143, APR 2017. (12/03526-0)

KORCHMAROS, GABOR; PACE, NICOLA. Coset intersection of irreducible plane cubics. DESIGNS CODES AND CRYPTOGRAPHY, v. 72, n. 1, p. 23-pg., 2014-07-01. (12/03526-0)

KORCHMAROS, GABOR; PACE, NICOLA. Coset intersection of irreducible plane cubics. DESIGNS CODES AND CRYPTOGRAPHY, v. 72, n. 1, SI, p. 53-75, JUL 2014. (12/03526-0)

KORCHMAROS, GABOR; NAGY, GABOR P.; PACE, NICOLA. 3-Nets realizing a group in a projective plane. JOURNAL OF ALGEBRAIC COMBINATORICS, v. 39, n. 4, p. 939-966, JUN 2014. (12/03526-0)

KORCHMAROS, GABOR; NAGY, GABOR P.; PACE, NICOLA. k-nets embedded in a projective plane over a field. COMBINATORICA, v. 35, n. 1, p. 63-74, FEB 2015. (12/03526-0)

PACE, NICOLA. On Small Complete Arcs and Transitive A(5)-Invariant Arcs in the Projective Plane PG(2, q). JOURNAL OF COMBINATORIAL DESIGNS, v. 22, n. 10, p. 425-434, OCT 2014. (12/03526-0)