Métodos homológicos e homotópicos em sistemas dinâmicos

• Processo: 13/15119-3
• Modalidade de apoio: Bolsas no Exterior - Estágio de Pesquisa - Doutorado
• Data de Início da vigência: 15 de outubro de 2013
• Data de Término da vigência: 14 de outubro de 2014
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Ketty Abaroa de Rezende
• Beneficiário: Ewerton Rocha Vieira
• Supervisor: John M. Franks
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Instituição Anfitriã: Northwestern University, Evanston, Estados Unidos
• Vinculado à bolsa: 10/19230-8 - Teoria da Matriz de Transição, BP.DR
• Assunto(s): Sequências espectrais
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: bifurcações | continuação | homologia e homotopia | Índice de Morse-Conley | matriz de conexão | sequencias espectrais | Sistemas Dinânicos

Resumo

O objetivo deste projeto pode ser descrito em duas partes. Primeiramente, iremos investigar as descrições de um complexo de cadeia associado a um sistema dinâmico e estudar as propriedades algébricas e topológicas com o intuito de obter informações dinâmicas. Este é o caso bem conhecido do complexo de cadeias de Morse-Witten, onde a diferencial desse complexo é dada por uma matriz de conexão. Portanto, podemos fazer o uso da teoria do índice de Conley, mais especificamente, a teoria das matrizes de transição e de conexão, para obtermos informações dinâmicas.Estudaremos mais profundamente as informações algébricas provenientes da sequência espectral e, em particular, das matrizes de transição obtidas pelo método da varredura em termos de seu significado dinâmico. Prof. Franks tem trabalhado intensivamente com esse tema, ou seja, relacionando a situação dinâmica com um complexo de cadeia e com uma descrição algébrica homológica. Os invariantes obtidos em cada contexto revelam propriedades nos demais.Atualmente, temos concentrado nossos esforços no estudo da teoria da matrizes de transição. Até o presente, existem na literatura três construções diferentes de matrizes de transição: singular, topológica e algébrica. Todas são definidas de forma diferente e tem propriedades diferentes. Estamos concluindo um artigo, com o Prof. Franzosa, no qual apresentamos uma matriz de transição topológica generalizada, a qual é usada para detectar bifurcações de codimensão 1 entre órbitas conectantes em uma decomposição de Morse para um conjunto invariante isolado. Inspirado por esses resultados, estamos trabalhando juntos com o Prof. Franzosa na generalização da matriz de transição com o objetivo de unificar a teoria como um todo.A segunda proposta desse projeto é mais âmpla. Em nosso encontro semanal com o Prof. Franks, esperamos abranger e aprofundar nosso conhecimento dessa abordagem aos sistemas dinâmicos no qual ele é especialista nesse campo de pesquisa. Aprendendo não somente técnicas modernas como também entrando em contato com pesquisas inovadoras desse campo que, sem dúvida, será uma experiência valiosa. Essa oportunidade de trabalho com o Prof. Franks é inestimável para ganhar mais perspicácia em métodos homológicos e homotópicos aplicados aos sistemas dinâmicos e ações de grupos em variedades. (AU)