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Teoria de Galois, grupos profinitos e aplicações em formas quadráticas

Processo: 14/08234-3
Linha de fomento:Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
Vigência (Início): 01 de junho de 2014
Vigência (Término): 31 de maio de 2015
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
Pesquisador responsável:Hugo Luiz Mariano
Beneficiário:Kaique Matias de Andrade Roberto
Instituição-sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
Assunto(s):Teoria de Galois   Formas quadráticas

Resumo

No contexto da Teoria de Galois infinita, certas questões sobre um corpo base são bem respondidas tendo disponível uma extensão galoisiana infinita deste, por exemplo, o grupo de Galois absoluto do corpo $F$, $Gal(F^s|F)$, onde $F^s$ designa um fecho separável de $F$.Todavia, neste contexto ampliado, paga-se o preço de ter que introduzir noções topológicas (a correspondência bijetiva é entre subextensões e subgrupos fechados). Assim, desenvolveremos o arcabouço topológico e categorial necessários para isso. No desenvolvimento da teoria, provaremos que os grupos de automorfismos de extensões galoisianas arbitrárias são profinitos, i.e. são limites projetivos de grupos finitos e discretos, herdando assim uma topologia booleana compatível com as operações de grupo. No processo de detecção de propriedades dos grupos de Galois absolutos, desenvolveremos estudos sobre cohomologia galoisiana e sobre cohomologia de grupos profinitos, em geral. Um caso de interesse particular para a Teoria Algébrica das Formas Quadráticas (TAFQ) é o "anel graduado de cohomologia de um corpo", $H(F):=H(Gal(F^s|F); \pm 1)$. Desenvolveremos assim aplicações no estudo da TAFQ, relacionando o anel graduado de Witt do corpo $F$ (obtido a partir do anel de Witt de $F$ que classifica suas formas quadráticas regulares e não isotrópicas) com o anel graduado de cohomologia de $F$ e o anel graduado obtido da k-teoria reduzida de Milnor. Em sequência, estudaremos os três anéis graduados no contexto da conjectura Milnor (demonstrada no final dos anos 1990), que identifica os três anéis, e autilização desta para resolver outras questões sobre anel graduado de Witt.

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