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Teoria de valorização de anéis de grupos e homologia de grupos solúveis

Processo: 16/13937-9
Linha de fomento:Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
Vigência (Início): 01 de novembro de 2016
Vigência (Término): 27 de julho de 2020
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
Pesquisador responsável:Daniel Levcovitz
Beneficiário:Fatemeh Yeganeh Mokari
Instituição-sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
Bolsa(s) vinculada(s):18/03561-7 - Homologia de grupos lineares sobre domínios de Dedekind, BE.EP.PD
Assunto(s):Anéis e álgebras comutativos   Teoria dos anéis   Teorias de homologia   Grupos nilpotentes   Teoria geométrica de invariantes

Resumo

Grupos e anéis são estruturas algébricas básicas, mas fundamentais em Matemática e eles aparecem quase em todos tópicos de Matemática. Os grupos têm ligações inseparáveis com a noção de simetria. Por exemplo, um grupo simétrico codifica características simetrias de um objecto geométrico. Os anéis são generalizações naturais do conjunto de números inteiros. Um anel consiste de um conjunto equipado com duas operações binárias que generalizam as operações aritméticas das adição e multiplicação. Através desta generalização, teoremas de aritmética são estendidos para objetos não-numéricos, tais como polinômios, séries, matrizes e funções. O principal objetivo deste projeto é utilizar as ferramentas disponíveis em teoria de anéis, como a teoria de módulos e teoria de valorização dos anéis de grupos, para estudar alguns problemas profundos na teoria homologia de grupos. Este é um método poderoso para estudar estes grupos. Pesquisas nesta direção levou à descoberta de muitas ligações interessantes e criou novos métodos poderosos de investigação e tem vindo envolver uma grande coleção de ferramentas e ideias Matemáticas. Uma importante classe de grupos é a classe de grupos solúveis. Grupos solúveis finitamente gerados que ocorrem em aplicações são muitas vezes nilpotentes-por-abelianos-por-finitos. Por exemplo grupos solúveis S-aritméticos são nilpotentes-por-abelianos-por-finitos. Um dos principais planos deste projeto é estudar aspectos homológicas de grupos nilpotentes-por-abelianos e a invariante mais importante para investigar destes grupos é a invariante geométrica de Bieri-Strebel. Esta é uma invariante geométrica e podemos usá-lo para estudar n-mansonidade de módulos sobre anéis de grupo. O n-mansonidade de ação de um grupo abeliano finitamente gerado Q sobre um Q-módulo tem uma profunda ligação com teoria de valorização e teoria de módulo sobre anel de grupo de Q. Embora tenhamos muitos avanços importantes nessa direção, ainda há um monte de perguntas sem respostas. Esta parte do nosso projeto envolve um monte de álgebra comutativa e esperamos que nosso conhecimento neste assunto, especialmente a teoria de valorização, nos ajudaria com alguma compreensão mais profunda da mansonidade. Além disso, os assuntos acima estão ligados aos números de Betti de grupos, que são importantes invariante de grupos. Os números virtuais racionais de Betti de um grupo finitamente gerado estudam o crescimento dos números de Betti do grupo como segue passagem sobre subgrupos de índice finito. Finitude dos números virtuais racionais de Betti de um grupo é uma propriedade muito estranho. É interessante saber o que está por trás deste fenômeno de alguns grupos. Neste projeto pretendemos estudar números virtuais racionais de Betti de solúveis. Em muitos aspectos grupos nilpotentes se comportar muito bem como grupos abelianos. Pretendemos ver como eles estão perto quando estudamos as homologias destes grupos. Além disso, há muitas propriedades das homologias de grupos abelianos que esperamos que ser verdadeiro para as homologias de grupos nilpotentes, mas surpreendentemente isto não é o caso. Pretendemos investigar tais problemas para obter uma melhor compreensão das homologias de grupos nilpotents e esperançosamente de grupos solúveis. Ao longo da linha, pretendemos investigar homologia de grupos solúveis. Por exemplo, o que são as estruturas exatas das homologias integrante de grupos metabelianos. Este não é conhecida, mesmo para a segunda homologia de tais grupos. Neste projeto, três grandes temas de Matemática, isto é teoria de grupos, teoria de anéis e topologia algébrica, vêm juntos. Com essas abordagens e estratégias esperamos responder algumas conjecturas fundamentais ou fazer algumas contribuições substancial para suas soluções. (AU)