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Sobre fatores de expansão de homeomorfismos pseudo-Anosov

Processo: 18/13688-4
Linha de fomento:Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
Vigência (Início): 01 de outubro de 2018
Vigência (Término): 30 de setembro de 2020
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
Pesquisador responsável:André Salles de Carvalho
Beneficiário:Ahmad Rafiqi
Instituição-sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
Vinculado ao auxílio:16/25053-8 - Dinâmica e geometria em baixas dimensões, AP.TEM
Assunto(s):Sistemas dinâmicos

Resumo

RESUMO DO PROJETO DE PESQUISAO projeto está nos campos gerais de topologia, dinâmica topológica e geometria hiperbólica. Mais especificamente, tenho trabalhado em problemas relacionados a homeomorfismos de superfície e seus "fatores de alongamento".Pesquisa passadaFried [F] provou que, se » é a dilatação associada a um homeomorfismo pseudo-Anosov de uma superfície compacta, tanto » como 1 / » são raízes de polinômios míticos sobre os inteiros (assim, » é uma unidade algébrica) e que todos os seus Galois os conjugados (exceto talvez um de ± » ^ - (1)) encontram-se no anel aberto com os raios externos internos 1 / » e ». Os números que satisfazem essas propriedades são chamados de unidades biPerron. Em seu artigo, Fried conjecturou que todas as unidades biPerron são dilatações de homeomorfismos de superfície e não apenas vice-versa, como ele provou. Existem muitos trabalhos relacionados. Thurston [Th1] deu uma resposta parcial à versão Out (Fn) desta questão (veja [Th1] Teorema 1.8).Thurston [Th1] forneceu alguns exemplos de construções de mapas de pseudo-anosov para unidades algébricas biPerron. Ele construiu mapas finitos lineares pós-criticamente finitos do intervalo unitáriocom a dilatação como declives, e as superfícies foram construídas calculando o conjunto É-limite de extensões dos mapas de intervalo para o plano que esticou horizontalmente e encolheu verticalmente por ». Estesexemplos motivaram meu trabalho anterior ([BRW], com H. Baik e C. Wu) para construir pseudo-Anosovmapas com unidades biPerron prescritas como dilatações. Nós consideramos essas unidades biPerron que eramos principais autovalores de matrizes consistindo de 0s e 1s (com algumas propriedades adicionais, veja [BRW]).Para estes nós conseguimos construir superfícies orientáveis fechadas (com diferenciais quadráticos vindoa partir da forma da matriz) e definir homeomorfismos neles de tal forma que a dilatação foi aunidade biPerron fixa. Mesmo que esta construção nos deu muitos novos exemplos de pseudo-Anosovmapas, ele não produz todos os mapas pseudo-Anosov. Se tal construção funciona para todosUnidades biPerron são desconhecidas.Direções futurasEm [BRW] nós demos uma condição suficiente para o principal autovalor de uma matriz ser um pseudo-Anosovdilatação em uma superfície fechada. Uma direção seria investigar se as superfícies do tipo finitopoderia ser obtido para uma classe maior de unidades biPerron. No entanto, se não precisarmos do resultadosuperfície para ser do tipo finito, podemos enfraquecer significativamente as condições, e obter pseudo-Anosov como mapas. Mais precisamente, ainda temos duas foliações invariantes e transversaissuperfície - exceto talvez com infinitas muitas singularidades - uma ainda expandida e outra contraída pela dilatação. Se as singularidades da foliação se acumulam em um número finito de pontos,obter um mapa pseudo-anosov generalizado (no sentido de [dCH]).Referências:[BRW] Baik, H., Rafiqi, A. e Wu, C. (2016). Construindo mapas pseudo-anosov com dilatações dadas, Geom. Dedicata, volume 180, edição 1, 39 {48.[BRW2] Baik, H., Rafiqi, A., & Wu, C. (2016), é uma unidade algébrica bi-perron típica uma dilatação de pseudo-anosov? Aceito: Teoria Ergódica e Sistemas Dinâmicos.[dCH] de Carvalho, A. e Hall, T. (2004). Mapas pseudo-anosov generalizados unimodais. Geom. Topol., 8, 1127 {1188.[EMR] Eskin, A., Mirzakhani, M., Ra_, K. Contando geodésicas fechadas em estratos, arXiv: 1206.5574.[F] Fried, D. (1985). Taxa de crescimento de homeomorfismos de superfície e equivalência ow. Ergod. Teoria Dyn. Syst., 5 (04), 539 {563.[H13] Hamenstadt, U. (2013). Construção de Bowen para o Teichmuller ow, J. Mod. Dinâmica 7, 489 {526.[H2] Hamenstadt, U. Propriedades típicas das geodésicas periódicas de Teichmuller, arXiv: 1409.5978.[Mc] McMullen, C. T. Polinomial invariantes para 3-variedades de fibras e geodésicas de Teichmuller para foliações. Annales scientifiques de l'Ecol