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Grupos, corpos, teoria de Galois e aplicações

Processo: 19/17092-1
Linha de fomento:Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
Vigência (Início): 01 de outubro de 2019
Vigência (Término): 30 de setembro de 2020
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
Pesquisador responsável:Plamen Emilov Kochloukov
Beneficiário:Lucas Henrique Martins da Silva
Instituição-sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
Vinculado ao auxílio:18/23690-6 - Estruturas, representações e aplicações de sistemas algébricos, AP.TEM
Assunto(s):Teoria de Galois   Teoria dos grupos   Grupos finitos   Extensão de corpos

Resumo

Neste projeto pretendemos estudar alguns tópicos de grande relevância para a Álgebra contemporânea. No início estudaremos alguns conceitos básicos da teoria dos grupos, focando mais nos grupos finitos. Em seguida estudaremos elementos da teoria de corpos e extensões de corpos, na linguagem dos polinômios e suas raízes. Estudaremos as propriedades das extensões finitas, algébricas, finitamente geradas. Passaremos para polinômios simétricos e raízes de polinômios e suas relações com extensões de corpos. Depois estudaremos extensões de corpos com muito mais detalhes: extensões normais e extensões separáveis. Passaremos para os resultados fundamentais da teoria de Galois, relacionando as extensões com os respectivos grupos de automorfismos da extensão. Estudaremos a solubilidade de grupos e como consequência, a solubilidade de equações polinomiais. Como uma consequência deduziremos os resultados fundamentais da teoria das construções com régua e compasso, inclusive os três problemas clássicos da antiguidade, bem como o teorema de Gauss sobre a possibilidade de construir com régua e compasso o polígono regular de $n$ vértices. Estes são tópicos de grande importância metodológica na Álgebra (bem como na Matemática em geral), pois a teoria de Galois mostra como podem ser relacionadas duas teorias que aparentemente são muito distantes (a teoria de grupos e a de corpos), para resolver um problema de extrema importância: a solubilidade das equações algébricas. E ainda, obter como consequência, uma solução do problema da possibilidade (ou não) de efetuar construções com régua e compasso.Trata se de tópicos da Álgebra formadores que enriquecem em muito a cultura matemática dos alunos, e providenciam uma sólida base para futuros estudos. Além disso são teorias fundamentais, sem o conhecimento das quais não se pode fazer pesquisa minimamente séria em Álgebra ou Teoria de números. Escolhemos um tema bastante geral, que poderá servir como base para vários estudos no futuro. Esta IC está planejada com duração de 12 meses. Levamos em consideração que Lucas está no primeiro ano do curso de Matemática, e ainda irá fazer as matérias mais sérias e de conceitos como Análise, Álgebra linear avançada, Grupos, Anéis e corpos, Topologia dos espaços métricos. Levamos em consideração que ele poderá, após cursar algumas dessas matérias, decidir melhor qual a área da matemática que ele mais gostaria de estudar. Este projeto permite várias continuações naturais, após o primeiro ano, dependendo dos interesses do Lucas. Uma poderia ser o estudo das álgebras centrais simples e dos anéis de divisão, chegando ao conceito de grupo de Brauer, e em seguida, um estudo mais aprofundado das propriedades algébricas dos anéis de divisão, até o famoso teorema de Amitsur sobre os produtos cruzados. Tais estudos irão envolver necessariamente conceitos como identidades polinomiais e matrizes genéricas. É um tópico de pesquisa que está mais alinhado com os interesses do orientador. Outro tópico que representa continuação dos estudos propostos acima consiste em aprofundamentos na teoria algébrica dos números. Mas repito que a escolha de tema(s) para uma possível continuação deste projeto irá depender exclusivamente do Lucas e da afinidade que ele terá por alguma das linhas de pesquisa propostas (ou alguma outra linha).O aluno já tem noção de alguns dos conceitos básicos da álgebra: ele começou a estudar, por conta e vontade próprias, os básicos da álgebra linear e da teoria de grupos, sob a forma de uma IC sem bolsa, durante o primeiro semestre de 2019. Portanto acreditamos que ele poderá absorver bastante rápido os conceitos algébricos necessários para o desenvolvimento do projeto.