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Deformações de estruturas geométricas e grupoides de Lie

Processo: 19/20789-4
Linha de fomento:Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
Vigência (Início): 01 de setembro de 2020
Vigência (Término): 31 de agosto de 2022
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
Pesquisador responsável:Ivan Struchiner
Beneficiário:João Nuno Mestre Fernandes da Silva
Instituição-sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
Vinculado ao auxílio:16/23746-6 - Técnicas algébricas, topológicas e analíticas em geometria diferencial e análise geométrica, AP.TEM
Assunto(s):Geometria diferencial   Grupos de Lie   Estabilidade   Cohomologia

Resumo

Um problema central na geometria é o de entender o comportamento de estruturas geométricas quando submetidas a deformações. Geralmente o objetivo consiste em descrever o espaço de moduli de tais estruturas, a menos de uma relação de equivalência apropriada. Cada classe de estruturas geométricas tem a sua teoria de deformação, incluindo uma teoria de cohomologia que controla as suas deformações. Parte deste projeto dedica-se ao estudo de teorias cohomológicas que controlam deformações de diversas estruturas geométricas, de um modo unificado. Esta abordagem unificada é conseguida através do estudo da teoria de deformação de grupóides de Lie e da teoria de cohomologia a eles associada. Os grupóides de Lie são objetos geométricos que podem ser usados para codificar muitos objetos clássicos da geometria diferencial (Grupos de Lie, fibrados principais, ações de grupos de Lie, submersões, etc.) e portanto permitem tratar as teorias de deformação de todos estes objetos de um mesmo modo. Os grupóides de Lie também são usados para se poder fazer geometria diferencial em espaços que são singulares (i.e., não são suaves), usando técnicas clássicas de geometria diferencial em grupóides de Lie que representem esses espaços singulares. Os espaços que aparecem deste modo chamam-se stacks diferenciáveis. Parte deste projeto trata de revelar a estrutura algébrica da cohomologia de deformação de um grupóide de Lie. Esse estudo vai dar novas informações sobre o espaço de moduli de grupóides de Lie (e de estruturas por eles modeladas). Para entender melhor a teoria de deformação de grupóides de Lie, este projeto estuda também a relação com deformações de outros objetos naturalmente associados: álgebras C*, algebróides de Lie, e stacks diferenciáveis. Serão exploradas ainda deformacões de morfismos de grupóides (e sua estabilidade) e de estruturas geométricas compatíveis com grupóides: simpléticas, complexas e de Poisson. (AU)