Equações diferenciais: uma abordagem dinâmica para o Teorema de Poincaré-Hopf

• Processo: 21/04961-1
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de junho de 2021
• Data de Término da vigência: 31 de maio de 2022
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Nivaldo de Góes Grulha Júnior
• Beneficiário: Luís André Mucheroni Covolan
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 19/21181-0 - Novas fronteiras na Teoria de Singularidades, AP.TEM
• Assunto(s): Geometria Topologia diferencial Equações diferenciais Sistemas dinâmicos Teoria das singularidades
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Equacões Diferenciais | sistemas dinâmicos | teorema de poincaré-hopf | Teoria de Singularidades | Teoria de Singularidades

Resumo

O estudo de campos de vetores na vizinhança de uma singularidade, ou ponto estacionário, é um tema amplamente estudado devido à sua importância em vários ramos da matemática e suas aplicações em outras áreas da ciência, como biologia, meteorologia e etc. Frequentemente, quando pretendemos equacionar determinados fenômenos, nos deparamos com equações que envolvam variações de certas quantidades consideradas essenciais. O uso de equações diferenciais para representar essas variações se deve essencialmente, ao fato do fenômeno estudado ser visto em tempo discreto ou contínuo. Pelo fato de muitas equações diferenciais não serem convenientemente solúveis por métodos analíticos, torna-se importante considerar informações qualitativas obtidas de suas soluções, sem de fato resolvê-las. Veremos como isso pode ser feito. Assim, apresentam-se alguns métodos de resolução de equações diferenciais mais importantes ou mais conhecidas. Também enfocaremos os sistemas lineares, pois esta teoria será usada no estudo qualitativo dos sistemas não lineares. Informações sobre o comportamento de um campo vetorial perto de um ponto singular pode ser obtido através de alguns invariantes. O invariante mais básico de um campo de vetores em um ponto singular é o chamado Índice de Poincaré-Hopf. Conceito muito importante, e considerado um verdadeiro traço de união entre ramos da matemática como a Topologia Algébrica e a Topologia Diferencial. Tal conexão é possível através do importante resultado conhecido como Teorema de Poincaré-Hopf, objetivo final deste projeto.