Análise geométrica, fluxo de Ricci e aplicações

• Processo: 21/09177-7
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Mestrado
• Data de Início da vigência: 01 de abril de 2022
• Data de Término da vigência: 31 de julho de 2023
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Alexandre Paiva Barreto
• Beneficiário: Rafael da Silva Belli
• Instituição Sede: Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia (CCET). Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR). São Carlos , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 16/24707-4 - Topologia algébrica, geométrica e diferencial, AP.TEM
• Assunto(s): Análise geométrica Geometria Riemanniana Equações diferenciais parciais Topologia diferencial
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Fluxo de Ricci | Teorema da Esfera | Análise Geométrica e Geometria Riemanniana

Resumo

A Análise Geométrica é uma área de fronteira da Matemática que, como o próprio nome diz, relaciona a Análise com a Geometria. Em poucas palavras, a Análise Geométrica faz uso da teoria de Equações Diferenciais Parciais (sobretudo da teoria Elíptica) para atacar problemas de Geometria e/ou Topologia Diferencial. O uso de técnicas analíticas na Geometria não é algo novo, mas ganhou muito destaque a partir dos anos 80 (e permanece em destaque até hoje) com os trabalhos de S.T. Yau, R. Schoen e R.Hamilton. Dentre outras contribuições importantes, destacamos o fluxo de Ricci introduzido por Hamilton no artigo [8] de 82 e que levou a demonstração de generalizações importantes do Teorema da Esfera. Vinte anos depois este fluxo criado por Hamilton viria a ser peça fundamental para a demonstração, por Grygori Perelman, da Conjectura de Geometrização de Thurston e, consequentemente, da Conjectura de Poincaré. O objetivo deste projeto de mestrado é fornecer ao aluno uma formação básica sólida para se tornar um pesquisador na área de Análise Geométrica. A primeira parte deste projeto tem a formação geral do estudante como objetivo principal. Nela estudaremos os pré-requisitos necessários de equações diferenciais parciais, técnicas variacionais, princípios do máximo, teoremas de comparação, fórmulas importantes, operadores e problemas de autovalor, resultados clássicos sobre superfícies mínimas e de curvatura média constante etc.A segunda parte do projeto será destinada ao estudo do fluxo de Ricci. Existência, propriedades importantes, estudo da evolução de grandezas geométricas, Ricci solitons e outras soluções especiais, estimativas isoperimétricas e análise de singularidades. A terceira e última parte do projeto será devotada a algumas aplicações do fluxo de Ricci. Nossa atenção principal estará direcionada para várias versões do Teorema da Esfera existentes na literatura. Caso o projeto se desenvolva mais rápido que o previsto, o tempo remanescente será utilizado para um estudo introdutório sobre os trabalhos de Yamabe. (AU)