Introdução à Homologia de Interseção

• Processo: 22/10020-8
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Mestrado
• Vigência (Início): 01 de dezembro de 2022
• Situação: Interrompido
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Maria Aparecida Soares Ruas
• Beneficiário: Hana Marinho Lucena
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 19/21181-0 - Novas fronteiras na Teoria de Singularidades, AP.TEM
• Bolsa(s) vinculada(s): 23/05020-1 - Homologia de interseção e singularidades de aplicações, BE.EP.MS
• Assunto(s): Homologia Singularidades Teoria das singularidades
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Espaços Estratificados | Homologia | Singularidades | Teoria das Singularidades

Resumo

Na topologia, a homologia de interseção é um análogo da homologia singular,especialmente adequado para o estudo de espaços singulares, descoberto por Mark Goresky e Robert MacPherson em 1974 e desenvolvido por eles nos anos seguintes.Os grupos de homologia de uma variedade X n-dimensional compacta, orientada e conexa possuem uma propriedade fundamental chamada dualidade de Poincaré. Classicamente, voltando, por exemplo, a Henri Poincaré, essa dualidade era compreendida em termos da teoria da interseção. Um elemento de {\displaystyle H_{j}(X)} é representado por um ciclo j-dimensional. Se um ciclo i-dimensional e um (n-i)-dimensional estão em posiçãogeral, então sua intersecção é uma coleção finita de pontos. Usando a orientação de X pode-se atribuir a cada um desses pontos um sinal; em outras palavras, a interseção produz um ciclo 0-dimensional. Pode-se provar que a classe de homologia deste ciclo depende apenas das classes de homologia dos ciclos dimensionais originais i e (i-1).Entretanto, quando X possui singularidades, essas ideias perdem o sentido. Em tal caso, por exemplo, não é mais possível estabelecer uma boa noção de "posição geral" para ciclos. Por esse motivo, Goresky e MacPherson apresentaram uma classe de ciclos "permissíveis", os quais a posição geral faz sentido.Assim, foi introduzido uma relação de equivalência para ciclos permitidos, e o grupo foi chamado {\displaystyle IH_{i}(X)} de ciclos i-dimensionais permitidos, módulo esta relação de equivalência, "homologia de interseção". Além disso, foi mostrado que a interseção de um ciclo permitido i- e um (n-i)-dimensional dá um ciclo zero(comum) cuja classe de homologia é bem definida. Neste trabalho, pretendemos organizar de forma sistemática a teoria introdutória de homologia de interseção.