Hipersuperfícies e Fluxos de Weingarten

• Processo: 23/06819-3
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Doutorado
• Vigência (Início): 01 de janeiro de 2024
• Vigência (Término): 31 de julho de 2027
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Alexandre Paiva Barreto
• Beneficiário: Rafael da Silva Belli
• Instituição Sede: Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia (CCET). Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR). São Carlos , SP, Brasil
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Fluxo de Curvatura Média | Fluxo de Weingarten | Hipersuperfícies Algébricas | Hipersuperfícies de Darboux | Hipersuperfícies de Weingarten | Geometria Diferencial e Riemanniana

Resumo

Hipersuperfícies de Darboux são hipersuperfícies obtidas movendo-se uma subvariedade de codimensão dois por uma família a um parâmetro de isometrias da variedade ambiente. Exemplos particulares importantes dessas hipersuperfícies são ashipersuperfícies regradas (em particular, as hipersuperfícies cilíndricas, cônicas e helicoidais), hipersuperfícies de translação e homotéticas, hipersuperfícies folheadas por esferas (em particular, as hipersuperfícies de revolução, tubulares, cíclicas, canais e osculadoras) e hipersuperfícies de Monge.Este projeto possui duas partes distintas, ambas tendo as hipersuperfícies de Darboux como pano de fundo:A primeira parte visa estudar hipersuperfícies de Weingarten, isto é, hipersuperfícies cujas curvaturas médias verificam uma relação suave. Exemplos clássicos e profundamente estudados destas hipersuperfícies são as que possuem curvatura média/Gauss-Kronecker constante (mínimas por exemplo). Apesar de se tratar de um tópico clássico, muitas questões ainda permanecem em aberto, mesmo quando o ambiente em questão é o Euclidiano. O objetivo desta parte é desenvolver técnicas que permitam classificar e/ou produzir exemplos relevantes de hipersuperfícies de Darboux não lineares imersas em geometrias modelo de Thurston ou em suas generalizações naturais para dimensões superiores.Fluxos geométricos definidos a partir de curvaturas extrínsecas têm sido um dos tópicos da Geometria Diferencial que mais têm recebido a atenção dos pesquisadores nas últimas décadas. A segunda parte do projeto é devotada ao estudo dos fluxos de Weingarten que são uma generalização natural do fluxo de curvatura média. Mais precisamente, os fluxos de Weingartesn são fluxos geométricos cujo valor das componentes normais da derivada temporal coincidem com uma relação suave entre as curvaturas médias das hipersuperfícies dadas pelo fluxo. O objetivo desta parte é estudar os fluxos de Weingarten não lineares de hipersuperfícies de Darboux, determinar sua existência e unicidade e classificar seus sólitons de translação e auto-similares.