Introdução aos Métodos Matemáticos da Física Teórica

• Processo: 25/23674-4
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de janeiro de 2026
• Data de Término da vigência: 31 de dezembro de 2026
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Física - Física das Partículas Elementares e Campos
• Pesquisador responsável: João Carlos Alves Barata
• Beneficiário: Thiago Rondon Bassul Campos
• Instituição Sede: Instituto de Física (IF). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Assunto(s): Álgebras de operadores Teoria de Tomita-Takesaki Física matemática
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: álgebras de operadores | Teoria de Tomita-Takesaki | Teorias quânticas de campos | Física Matemática

Resumo

Em linhas gerais, o projeto visa preparar o estudante em temas relacionados a Análise Funcional e Álgebras de Operadores com vista a um futuro mais aprofundado em Teorias Quânticas de Campos. O trabalho principal ao qual o estudante deverá se dedicar é o estudo do Teorema de Reeh-Schlieder e de uma de suas principais aplicações no contexto de Teorias Quânticas de Campos: uma manifestação do Teorema de Tomita e Takesaki (tema central do projeto) na descrição de movimentos sob aceleração constante (boosts de Lorentz) no espaço-tempo de Minkowski, conforme explorado no trabalho de J. Bisognano e E. H. Wichmann: "On the duality condition for a Hermitian scalar field". Esse trabalho apresenta uma explicação matemática para o efeito Unruh, cuja análise pode ser estendida para espaços-tempos com horizonte bipartite, permitindo também uma análise do efeito Hawking associado à emissão de radiação por buracos negros.A fase inicial do projeto, na qual o estudante já está envolvido, inclui um estudo introdutório de Topologia, em especial, de espaços métricos, e Análise, com noções básicas da teoria da medida e integração. Também inclui o estudo das noções básicas de espaços de Banach e de Hilbert e da teoria dos operadores contínuos (limitados) agindo em tais espaços. Alguns dos temas a serem estudados pelo bolsista nessa fase incluem:* Noções básicas sobre espaços de Hilbert e de Banach.* Operadores Lineares em Espaços Vetoriais Normados.* Espaços de Banach de Operadores.* O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequências do Mesmo.* O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princípio de Limitação Uniforme.* O Teorema da Aplicação Aberta e o Teorema do Gráfico Fechado.* Operadores Limitados em Espaços de Hilbert.* Operadores Autoadjuntos, Normais, Unitários, Projetores Ortogonais e IsometriasParciais em Espaços de Hilbert.* Rudimentos da Teoria das Álgebras de Banach e Álgebras C*.* A Inversa de Operadores Limitados.* Teoria Espectral.* O Homomorfismo de Gelfand em Álgebras C*.* Estados e Representações de Álgebras C*. Representação GNS.* Estados Puros, de Mistura e a Irredutibilidade de Representações GNS.* Algebras de von Neumann. Um Mínimo.* O Teorema do Bicomutante em Álgebras de von Neumann.Em uma etapa posterior, o estudante será introduzido à Teoria Clássica de Campos, explorando os formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano no contexto de campos escalares, de Dirac e do Eletromagnetismo clássico e estudando temas importantes como o Teorema de Noether e a relação entre princípios de simetria e leis de conservação. Então, o estudante será apresentado à teoria dos campos livres quantizados, às relações canônicas de comutação nos casos bosônico e fermiônico e aos problemas de quantização do Eletromagnetismo. Também será introduzido à teoria de perturbações, abordando temas como o Teorema de Wick e o problema básico por trás de procedimentos de regularização nessa teoria.Neste ponto, o aluno se voltará ao estudo de formulações matematicamente mais precisas de Teorias Quânticas de Campos, com ênfase particular ao estudo de propriedades analíticas das chamadas distribuições de Wightman, intimamente ligadas às propriedades de localidade e de invariância de Lorentz e de importância na discussão do chamado Teorema PCT. Tal estudo acopla-se perfeitamente ao tema central do projeto: o supracitado Teorema de Tomita-Takesaki.Por fim, o aluno estudará a Teoria Modular de Tomita e Takesaki e seus usos na física. O principal foco dessa etapa final é o Teorema de Reeh-Schlieder e uma consequência importante dele na formulação algébrica de Teorias Quânticas de Campos: a descrição, devido a Bisognano e Wichmann, da relação entre boosts de Lorentz no espaço-tempo de Minkowski e o grupo modular. Baseando-se no trabalho desses cientistas, o aluno estudará uma explicação matemática para o supracitado efeito Unruh e, com base no trabalho de Geoffrey L. Sewell, aprenderá sobre a extensão dessa análise ao efeito Hawking. (AU)