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Tópicos de geometria diferencial e Riemanniana

Processo: 08/01034-8
Linha de fomento:Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
Vigência (Início): 01 de abril de 2008
Vigência (Término): 31 de dezembro de 2008
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
Pesquisador responsável:Paolo Piccione
Beneficiário:Renato Ghini Bettiol
Instituição-sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
Vinculado ao auxílio:07/03192-7 - Teoria de subvariedades e teoria de Morse em dimensão finita e infinita, AP.TEM
Assunto(s):Geometria simplética   Geometria diferencial   Geometria Riemanniana

Resumo

O projeto apresentado parte dos conhecimentos de Análise e Topologia Algébrica adquiridos no projeto "Introdução à Topologia Algébrica", realizado nos últimos semestres, usando tais conteúdos para introduzir um estudo da Geometria Diferencial e Riemanniana, de modo a complementar a formação do aluno e fornecer as técnicas necessárias para uma posterior pós-graduação na área.Além de abordar os conceitos fundamentais das geometrias supracitadas, o projeto visa desenvolver um estudo inicial de Álgebra Exterior e Variedades Diferenciáveis, incluindo tópicos como aplicações multilineares, formas exteriores, tensores, formas diferenciais e grupos de Lie. A partir desse estudo preliminar será possível avançar em assuntos essenciais de Geometria Riemanniana e da Álgebra de Grassmann, estudando temas como geodésicas, tensor de curvatura, curvatura de Ricci, ação de grupos de Lie em espaços homogêneos, espaços simpléticos e Grassmannianas de Lagrangeanos.O projeto será finalizado através do estudo do Índice de Maslov, um invariante simplético associado a soluções de sistemas Hamiltonianos. Esse índice é dado por uma contagem algébrica dos zeros do sistema linearizado, e relaciona-se à Geometria Riemanniana correspondendo ao índice geométrico de uma geodésica, ou seja, o número de pontos conjugados ao longo desta.