Identidades Polinomiais em Álgebras Matriciais

• Processo: 24/18779-9
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Mestrado
• Data de Início da vigência: 01 de março de 2025
• Data de Término da vigência: 28 de fevereiro de 2027
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Plamen Emilov Kochloukov
• Beneficiário: Gabriel Cruz Vitale Torkomian
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Assunto(s): PI-álgebras
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Algebra | PI-álgebras | PI-Álgebras

Resumo

Neste projeto de mestrado pretendemos estudar tópicos clássicos da teoria das álgebras com identidades polinomiais, acerca das identidades satisfeitas por álgebras matriciais. Começamos com uma breve introdução à área: identidades polinomiais, PI álgebras, variedades de álgebras, T-ideais, o processo de linearização, estrutura homogênea e multilinear das álgebras relativamente livres, a teoria das representações do grupo simétrico e do grupo geral linear. Nesta parte o que foi aprendido durante a iniciação científica, com bolsa desta Fundação, será muito bem vindo, especialmente na parte da teoria das representações de grupos e da estrutura de anéis e álgebras. Prosseguiremos com as aplicações da teoria das representações do grupo simétrico, à teoria das PI álgebras. Veremos as identidades polinomiais da álgebra de Grassmann, bem como das matrizes triangulares superiores. Como uma aplicação veremos os resultados fundamentais de Razmyslov sobre as identidades da álgebra de Lie sl_2(K), as identidades fracas do par (M_2(K), sl_2(K)), e da álgebra matricial M_2(K), quando K é um corpo de característica 0. As identidades satisfeitas pelas matrizes de ordem n, n>2, não foram descritas ainda. Porém, um teorema, demonstrado simultaneamente (e de maneira independente), por Procesi e por Razmyslov, deu uma descrição completa das identidades com traço em M_n(K). A abordagem de Procesi envolve conceitos de suma importância na PI teoria: matrizes genéricas e a teoria dos invariantes dos grupos clássicos. Pretendemos seguir as ideias de Procesi para destrinchar a demonstração deste importante resultado. Para tanto teremos de estudar assuntos fundamentais sobre os invariantes dos grupos clássicos, o que é de interesse independente. O teorema de Razmyslov e de Procesi tem uma aplicação inesperada e muito interessante: o teorema de Nagata, Higman, Dubnov e Ivanov. Este teorema diz que se uma álgebra associativa, em característica 0, satisfaz a identidade x^n=0, para algum n, então ela é nilpotente. O valor exato do índice de nilpotência ainda não é conhecido se n>4 , mas a melhor cota superior conhecida é obtida usando-se identidades com traço.No final do projeto pretendemos estudar as identidades satisfeitas pela álgebra matricial de ordem 2, quando o corpo base é infinito e de característica maior que 2. Precisaremos estudar as identidades fracas, bem como as identidades de sl_2(K), antes de proceder com as de M_2(K). Esperamos que no final do mestrado o aluno tenha os conhecimentos para iniciar um doutorado em álgebra, mais especificamente em teoria combinatória de anéis e álgebras.