Investigação das $n-$ésimas potências das $Q-$matrizes de Fibonacci e de Lucas via produto de Lorenz

• Processo: 25/03393-0
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de julho de 2025
• Data de Término da vigência: 30 de junho de 2026
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Lucas Antonio Caritá
• Beneficiário: Danilo Braga Lopes
• Instituição Sede: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo (IFSP). Campus São José dos Campos. São José dos Campos , SP, Brasil
• Assunto(s): Matrizes Números de fibonacci
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: matrizes | Números de Fibonacci | Números de Lucas | Produto de Lorenz | Teoria Aditiva dos Números

Resumo

As sequências de Fibonacci \((F_n)\) e de Lucas \((L_n)\) possuem uma relação profunda com certas matrizes chamadas de \(Q\)-matrizes. A \(Q\)-matriz de Fibonacci, $Q_F = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, é conhecida pela \(n\)-ésima potência resultar em $Q_F^n = \begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{bmatrix}$. Por sua vez, a \(Q\)-matriz de Lucas, $Q_L = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, satisfaz $Q_L^n = \begin{cases} 5^{\frac{n}{2}}\begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{bmatrix}, & \text{se } n \text{ é par}, \\ 5^{\frac{n-1}{2}}\begin{bmatrix} L_{n+1} & L_n \\ L_n & L_{n-1} \end{bmatrix}, & \text{se } n \text{ é ímpar}.\end{cases}$. Essas conhecidas \(n\)-ésimas potências são oriundas do produto usual entre matrizes em \(M_2(\mathbb{R})\) e, a partir delas, se demonstra diversas identidades que relacionam os números de Fibonacci com os de Lucas. No entanto, é possível definir produtos alternativos entre matrizes \(2 \times 2\), diferentes do canônico, como o produto de Lorenz. Este projeto tem como objetivo investigar as propriedades das \(n\)-ésimas potências das \(Q\)-matrizes de Fibonacci e de Lucas quando o produto usual entre matrizes é substituído pelo produto de Lorenz. Espera-se compreender como essa mudança no contexto algébrico afeta as relações clássicas entre essas matrizes e as sequências de Fibonacci e Lucas, trazendo novos \textit{insights} sobre a interação entre operações matriciais e sucessões numéricas.