Variedades mínimas de crescimento polinomial

Resumo

Neste projeto de pesquisa planejamos estudar questões relacionadas com as identidades polinomiais (e as suas generalizações) que estão satisfeitas em alguma álgebra sobre um corpo. Em geral, em característica zero, o estudo das identidades está baseado na teoria das representações do grupo simétrico e do grupo geral linear, e envolve a combinatória das partições, tabelas, e diagramas de Young. A relação entre T-ideais e variedades de álgebras é bem entendida, e se mostra muito útil para traduzir noções de uma para a outra categoria. Uma característica importante das PI álgebras é a sequência das codimensões. Um resultado celebrado de Regev mostra que esta sequência cresce no máximo exponencialmente (enquanto as codimensões da álgebra associativa livre têm crescimento fatorial). Mais tarde Giambruno e Zaicev mostraram que, na verdade, as codimensões de uma PI álgebra têm sempre crescimento determinado pelos expoentes de inteiros. Assim eles definiram o expoente de uma variedade como sendo o limite da raiz n-ésima da n-ésima codimensão. O resultado principal desses matemáticos foi que o expoente de uma PI álgebra associativa existe e é sempre um inteiro (desde que a álgebra satisfaça alguma identidade não trivial). Há descrições devidas ao Kemer, das PI álgebras com crescimento polinomial das codimensões. Segue dos resultados de Kemer que não pode haver crescimento intermediário: ele é ou limitado por polinômio, ou é exponencial. Neste projeto nós pretendemos classificar todas as variedades minimais de crescimento bi-quadrático. Ainda mais estudaremos questões análogas nos casos de identidades em álgebras graduadas por um grupo, bem como em álgebras com involução. Nestes casos as codimensões são bem definidas e bastante estudadas. Pretendemos, nestes dois casos, descrever todas variedades minimais de crescimento polinomial. (AU)