Propagação de ondas elásticas em estruturas periódicas

Resumo

O fenômeno do 'band gap', que é uma banda de frequências ('frequências proibidas') ou comprimentos de onda em que ondas não podem se propagar, já vem sido estudado há muito tempo na física, em especial na física do estado sólido. Dispersão e interferência de ondas são utilizadas para criar 'band gaps' em materiais estruturados artificialmente, denominados 'cristais fotônicos'. Nessas estruturas, a periodicidade do índice de refração no cristal modifica as propriedades de dispersão e de interferência das ondas eletromagnéticas no mesmo, fazendo com que a luz não se propague em determinadas frequências. Inspirados pelo fenômeno, os físicos buscaram pelo equivalente para ondas mecânicas, os 'cristais fonônicos'. O 'band gap' em cristais fonônicos é gerado pelo fenômeno denominado 'Bragg scattering' (difusão ou espalhamento de Bragg) em estruturas que apresentam periodicidade de propriedades como a densidade, o módulo de elasticidade, ou a geometria da seção transversal (periodicidade de material ou de geometria). Neste caso, as 'frequências proibidas' dependem do comprimento da célula unitária, ocorrendo geralmente em frequências elevadas, pois a frequência proibida é inversamente proporcional ao comprimento de onda, que por sua vez é da mesma ordem de grandeza do comprimento da célula unitária. Deste modo, para ter um 'band gap' numa frequência baixa, necessitar-se-ia de um grande comprimento para a célula unitária, o que só seria possível para estruturas de grandes dimensões. Outro mecanismo para criar o 'band gap' mecânico é através da inserção de ressonadores ou suportes elásticos na estrutura (metamateriais acústicos), gerando um 'band gap' na frequência para a qual os ressonadores foram projetados (ressonância local) ou a partir da frequência zero (suporte flexível). Nesse caso, o 'band gap' pode ocorrer em baixas frequências, o que é mais interessante na maioria das aplicações para controle de vibração e ruído. Nos últimos anos os fenômenos de difusão de Bragg e de ressonância local já vêm sendo utilizados em pesquisas relacionadas à atenuação de vibração e ruído em estruturas. Com técnicas analíticas (tais como o método do elemento espectral) é possível estudar a presença de 'band gaps' em estruturas simples como barras, vigas e placas, cuja geometria permite uma descrição analítica. A combinação dessas técnicas com o método dos elementos finitos permite o estudo de estruturas com geometrias mais complexas. Neste projeto propõe-se estudar os dois mecanismos de 'band gap' em estruturas-difusão de Bragg e ressonância local - e de que maneira eles estão relacionados. Para isso, inicialmente será estudada a propagação de ondas elásticas em barras e vigas homogêneas. Depois, barras e vigas com periodicidade, onde surgem os 'band gaps', serão investigadas. Para estudar analiticamente as barras e vigas periódicas aplicaremos o método do elemento espectral (SEM) e faremos uma implementação numérica em MATLAB® para obter a relação de dispersão de uma célula periódica e a resposta forçada. Usando a tecnologia de fabricação com impressoras 3D (em colaboração com o CTI Renato Archer) serão fabricadas barras e vigas periódicas a fim de verificar experimentalmente alguns dos resultados obtidos por solução analítica e numérica.