Produto tensorial graduado e álgebras regulares

Resumo

Neste projeto de doutorado pretendemos estudar tópicos da teoria das álgebras com identidades polinomiais. O conceito de álgebras regulares foi introduzido por Regev e Seeman, depois foi estudado por Bahturin e Regev, e vários outros autores. A decomposição de uma álgebra regular como soma direta (finita) de subespaços vetoriais com certas propriedades, descritas abaixo, muitas vezes é tomada como uma graduação, por grupo abeliano finito. As álgebras regulares aparecem de maneira natural no estudo de produtos tensoriais graduados. Mais geralmente, no caso em que a decomposição é uma graduação, estudam-se produtos tensoriais torcidos, onde a torção é dada por algum bicarácter antissimétrico do respectivo grupo (ou, de forma equivalente, um 2-cociclo do grupo). Estudaremos as identidades multilineares em álgebras regulares e seus produtos tensoriais torcidos. Nosso principal objetivo será estudar e resolver duas conjecturas propostas por Bahturin e Regev. A primeira trata da minimalidade de uma decomposição regular, e a relaciona com a invertibilidade da respectiva matriz da decomposição. A segunda conjectura afirma que a quantidade de parcelas numa decomposição regular minimal, bem como o determinante da matriz associada, são invariantes da álgebra, e independem da escolha da decomposição. Procuraremos ainda descrições da respectiva matriz.