Álgebras finitamente presentadas e crescimento de álgebras

• Processo: 15/10617-0
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de agosto de 2015
• Data de Término da vigência: 29 de fevereiro de 2016
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Lucio Centrone
• Beneficiário: Gustavo do Nascimento Costa
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Assunto(s): Álgebras livres
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Algebras Finitamente Presentadas | Bases de Grobner | Crescimento de Álgebras | Dimensão de Gelfand-Kirillov | Grafos de Ufnarovsky | Séries de Hilbert | Álgebra

Resumo

Este projeto visa o estudo do crescimento das álgebras finitamente presentadas. Essas são álgebras quocientes da álgebra livre gerada nos monômios de um conjunto finito X, tais que o ideal relacionado a este quociente possui um número finito de geradores. Pretende-se definir uma noção de crescimento para essas álgebras e estudar seu comportamento assintótico. O estudo se fará dividido em partes, onde o aluno começará adquirindo conhecimentos básicos de álgebra moderna, como no campo da álgebra comutativa, e avançará gradativamente no tema central da pesquisa, aprendendo, para isso, algumas ferramentas fundamentais para o desenvolvimento da teoria, como as Bases de Gröbner, as séries de Hilbert, os grafos de Ufnarovsky, perpassando por conceitos como o de dimensão de Gelfand-Kirillov, até chegar às álgebras finitamente presentadas. Durante o trabalho, alguns casos particulares serão estudados, como o caso comutativo das álgebras, onde veremos, por exemplo, o teorema de Hilbert-Serre, e as álgebras monomiais, cujas bases de Gröbner são fáceis de computar; além disso, veremos algumas aplicações como o cálculo de bases de Gröbner para algumas álgebras dadas, teoremas como o de Poincaré-Birko-Witt, o problema de Kurosch, entre outros. Nota-se, assim, que a importância deste trabalho se justifica na medida em que ele proporcionará ao aluno uma base sólida de conhecimentos de álgebra, próximos, inclusive, a temas modernos de pesquisa e que, portanto, poderá ser estendido a um projeto futuro de pós-graduação. Por fim, nos meses finais, tentaremos generalizar alguns resultados para o caso não finito.