Geração e aproximação de geometrias especiais com aprendizagem de máquina

• Processo: 24/18994-7
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de novembro de 2025
• Data de Término da vigência: 31 de outubro de 2028
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Henrique Nogueira de Sá Earp
• Beneficiário: Edward George Hirst
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Empresa: Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (FEEC)
• Vinculado ao auxílio: 20/09838-0 - BI0S - Brazilian Institute of Data Science, AP.PCPE
• Assunto(s): Geometria diferencial Inteligência artificial Aprendizado computacional
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Estruturas Geométricas | Inteligência Artificial | Geometria Diferencial

Resumo

A geometria Riemanniana é um dos domínios mais impactantes da matemática, sendo essencial na descrição do espaço-tempo na Relatividade Geral e amplamente utilizada em diversas áreas como economia, biomedicina, ciência de dados e computação gráfica. A classificação das variedades Riemannianas, completada por Berger, destaca sete classes de grupos de holonomia, entre elas as variedades Calabi-Yau e $G_2$, que são especialmente importantes na Teoria das Cordas por descreverem espaços extradimensionais que afetam os padrões vibracionais das cordas. A forma dessas geometrias estabelece limites para os tipos de universos que essas teorias podem modelar.As variedades de cada tipo de holonomia podem ser construídas de várias formas, porém há um número enorme dessas geometrias. Por exemplo, com um único método de construção, existem cerca de 0,5 bilhões de variedades de Calabi-Yau. Para estudar essas geometrias em larga escala, métodos estatísticos e de Aprendizagem de Máquina são essenciais, fornecendo novas formas de gerar, procurar e aproximar essas estruturas.Além das propriedades topológicas, onde a Aprendizagem de Máquina já mostrou sucesso, as métricas que definem a forma dessas geometrias também são importantes, mas geralmente desconhecidas analiticamente. Recentemente, foram desenvolvidos métodos semi-supervisionados de Aprendizagem de Máquina para aproximar essas métricas, utilizando perdas derivadas de equações diferenciais geométricas altamente não lineares.Esses novos métodos têm potencial para modelar essas geometrias com mais precisão do que antes, usando bases de dados previamente geradas de variedades de Calabi-Yau e de estrutura $G_2$, cujas métricas podem ser aproximadas pela primeira vez. Além disso, a implementação de fluxos geométricos com Aprendizagem de Máquina, guiada pela experiência do mentor da proposta, permitirá a construção de novas geometrias com propriedades desejadas e abrirá novas possibilidades para o estudo dos fluxos geométricos.Essas métricas aproximadas com Aprendizagem de Máquina podem oferecer insights matemáticos sobre suas formas reais, ainda desconhecidas analiticamente. A existência das métricas de Calabi-Yau foi provada com o trabalho de Yau premiado pela medalha Fields, mas a sua estrutura real permanece desconhecida. Através desses métodos, a Aprendizagem de Máquina tem o potencial de descobrir essa estrutura.O crescimento da IA e da ciência dos dados facilita sua utilização emergente na matemática pura. A proposta também inclui a criação e organização de um curso de pós-graduação em IA aplicada à Matemática, formando a comunidade acadêmica local nesses métodos. Os resultados gerados incluirão as primeiras bases de dados de métricas aproximadas de variedades Calabi-Yau e $G_2$ com redes neurais, além de pacotes de código aberto para análise. Esses fluxos diferenciais serão modelados numericamente pela primeira vez com Aprendizagem de Máquina, abrindo novas perspectivas para problemas matemáticos antes inacessíveis. (AU)