Uma introducao as curvas algebricas planas

• Processo: 08/58453-2
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de fevereiro de 2009
• Data de Término da vigência: 31 de dezembro de 2009
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática
• Pesquisador responsável: Jaime Edmundo Apaza Rodriguez
• Beneficiário: Lilian Ferreira Berti
• Instituição Sede: Faculdade de Engenharia (FEIS). Universidade Estadual Paulista (UNESP). Campus de Ilha Solteira. Ilha Solteira , SP, Brasil
• Assunto(s): Teorema de Bézout
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Curva Algebrica | Intersecao De Curvas | Plano Projetivo | Resultante De Polinomios | Teorema De Bezout

Resumo

Dentre da Geometria Algébrica, o estudo das curvas algébricas projetivas não-singulares é uma área profícua de pesquisa. Em particular, as curvas maximais são úteis pelas aplicações que apresentam em diversas áreas da matemática, em especial, na teoria de códigos. Neste projeto estudamos em detalhe as curvas algébricas planas do ponto de vista da geometria algébrica clássica, sem muitos pre-requisitos. Nosso ponto de partida são as curvas planas usualmente estudadas na geometria elementar, tais como retas, cônicas, ciclóides, conchóides, etc. Passamos logo a uma revisão crítica do conceito de curva algébrica plana, formulando uma definição rigorosa, ainda que mais abstrata. Exploradas as idéias de interseção de curvas, introduzimos a resultante de dois polinômios e estudamos um caso particular do Teorema dos Zeros de Hilbert A seguir exploramos as idéias básicas necessárias na demonstração do Teorema de Bezout. Para que duas curvas de graus mense intersectem "sempre" em mn pontos é necessário explicar como alguns desses pontos devem ser contados mais que uma vez, seja por condição de tangência, seja pelo fato da curva "passar várias vezes" pelo mesmo ponto, e também entender como alguns outros pontos podem estar no infinito (plano projetivo). Ao final deste trabalho acreditamos o aluno sentira-se em condições para empreender outras tarefas mais ambiciosas, ainda na linha da Geometria Algébrica, ou virar para áreas de aplicações muito úteis hoje em dia, como são a Teoria dos Códigos e a Criptografia, cujo suporte matemático se encontra na Geometria Algébrica. (AU)