Campos vetoriais suaves por partes: Closing Lemmas, shifts e dinâmicas do tipo ferradura.

Resumo

Neste projeto de pesquisa estaremosinteressados em estudar tópicos inéditos referentes à TeoriaQualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias. Quando considera-se campos vetoriais suaves, é um tema de pesquisa, clássico e muito relevante, determinar a possível existência de pontos do seu domínio para os quais a órbita retorna infinitas vezes em sua vizinhança. O Closing Lemma busca estabelecer quando perturbações do sistema inicial, com a recorrência citada anteriormente, apresenta uma órbita periódica e assim a órbita ``se fecha'', daí o nome do lema. De fato, para o caso suave, existem diversas formulações do Closing Lemma, onde se varia o tipo de domínio ou a diferenciabilidade das funções utilizadas. Para algumas destas formulações é sabido que a resposta à existência da órbita fechada é positiva, para outras formulações é sabido que a resposta é negativa e ainda existem outras formulações onde não se tem uma resposta definitiva. No que se refere a campos vetoriais suaves por partes, este tema ainda é pouquíssimo explorado e será objeto de estudo ao longo deste projeto. Buscaremos obter resultados relacionados a versões do Closing Lemma: onde é possível e onde é impossível de se estabelecer ?. Além disso, no estudo de tais recorrências iremos estabelecer conjugações entre shifts (de finitos e infinitos símbolos) e fluxos de campos suaves por partes (via utilização de aplicações de primeiro retorno); além de exibir dinâmicas que se assemelham àquela obtida na Ferradura de Smale (via a dinâmica atratora e repulsora proporcionada pelas regiões de deslize e escape associadas ao campo suave por partes). (AU)