O significado das sentenças aritméticas, a definibilidade conjuntista e o papel da teoria das categorias na semântica de sistemas lógicos

Resumo

O presente projeto tem como finalidade iniciar uma reflexão sobre três questões fundamentais. A primeira questão diz respeito à determinidade da sentença que expressa a consistência de um sistema formal como ZFC, Con(ZFC): em que sentido pode-se afirmar que a consistência de ZFC é bem determinada, e não inerentemente vaga? A segunda questão fundamental é relativa à natureza dos conjuntos introduzidos pelo Axioma da Escolha no sistema formal ZFC: que tipo de conjunto o Axioma da Escolha introduz na Teoria de Conjuntos? A terceira questão fundamental que motiva este projeto é relativa ao possível papel organizacional que a Teoria das Categorias pode desempenhar na Matemática, com ênfase nos aspectos e formulações categoriais da relação de conseqüência e da Teoria de Modelos como um todo. Com relação à primeira questão, mesmo mantendo o foco em sentenças que expressam a consistência de sistemas formais como ZFC, e sentenças relacionadas, será necessário analisar as sentenças aritméticas como um todo para investigar a possibilidade de se justificar a existência de um valor de verdade determinado para Con(ZFC) independentemente de pressupostos sobre a validade geral da lei lógica do terceiro excluído. O ponto é que estamos interessados em mostrar que certas sentenças, como sentenças de consistência, portam valor de verdade em um sentido mais forte que outras, como a sentença da Hipótese do Contínuo, e o fundamento dessa diferença não pode estar na validade geral de leis lógicas. Com essa investigação em três frentes pretendemos analisar aspectos de quatro noções básicas do aparato conceitual da Matemática contemporânea: a noção de número, a noção de conjunto, a noção de estrutura e a noção de conseqüência semântica.