Reticulados bem arredondados no R² via o homomorfismo canônico e o homomorfismo torcido

Resumo

Uma das técnicas de gerar reticulados e avaliar sua densidade de empacotamento é através da aplicação de determinados homomorfismos a certos Z-módulos livres de posto n contidos num corpos de números K de grau n. Os reticulados gerados por este métodosão conhecidos como reticulados algébricos. A vantagem de obter reticulados por este método é que podemos identificar os pontos doreticulado no Rn com os elementos de K. Desta forma, podemos utilizar algumas propriedadesdo corpo K, que possuem uma estrutura algébrica mais rica, no estudo de tais reticulados.Reticulados bem arredondados são aqueles em que o conjunto de vetores com norma mínima geram o espaço todo. Eles surgem em diferentes contextos, incluindo problemas de empacotamento, problema do número de contato, problemas de otimização discreta, aplicações em teoria de códigos, conjectura de Minkowski, entre outros. Nesse contexto, surge a seguinte pergunta: quais reticulados algébricos são bem arredondados? Motivados por essa questão e pela aplicabilidade dos reticulados bem arredondados, estudamos a construção de reticulados algébricos via corpos quadráticos e analisamos quais reticulados são bem arredondados via o homomorfismo canônico e torcido.