Reticulados algebricos via corpos abelianos.

• Processo: 05/04177-6
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Mestrado
• Data de Início da vigência: 01 de setembro de 2006
• Data de Término da vigência: 29 de fevereiro de 2008
• Área de conhecimento: Engenharias - Engenharia Elétrica - Telecomunicações
• Pesquisador responsável: Antonio Aparecido de Andrade
• Beneficiário: Agnaldo José Ferrari
• Instituição Sede: Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas (IBILCE). Universidade Estadual Paulista (UNESP). Campus de São José do Rio Preto. São José do Rio Preto , SP, Brasil
• Assunto(s): Corpos de números
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Corpos Abelianos | Corpos Ciclotomicos | Corpos De Numeros | Discrimimante | Empacotamento Esferico | Reticulados Algebricos | Telecomunicações

Resumo

O presente projeto destina-se a um aluno que iniciou o curso de Mestrado em março de 2006, quando o mesmo concluiu o seu curso de graduação de Bacharelado em Matemática Pura. Numa primeira etapa, o candidato cursará as disciplinas básicas do curso de mestrado e em seguida fazer os exames de qualificações. A partir de então o candidato realizará estudos profundos e seminários de artigos e livros que envolvam tópicos pertinentes a preparação da dissertação de mestrado. Tomando K um corpo de números e n seu grau, temos que existem n monomorfismos distintos f_j de K em C, uma vez que o polinômio minimal de um elemento primitivo de K sobre Q tem somente n raízes em C. Sef_{j}(K) está contido em R diz-se que f_j é real, caso contrário, f_j é dito imaginário. Quando todos os monomorfismos são reais diz-se que K é um corpo totalmente real e caso contrário é um corpo totalmente imaginário. Se r é o número de homomorfismos reais, então podemos ordenar os monomorfismos $f_1,...,f_n de tal modo que f_1,...,f_r$ sejam reais. Como o conjugado de um homomorfimo é um homomorfismo segue que n-r=2s. Se x é um elemento de K, então o homomorfismo f_K de K no R^n definido por f_K(x)=(f_1(x),...,f_{r+s}(x)) é um homomorfismo injetivo de anéis, chamado de homomorfismo canônico. Se D_K é o discriminante absoluto de K, O_K é o anel dos inteiros de K e A é um ideal não nulo de O_K, então, f_K(O_K) e f_K(A) são reticulados, com volumes V(f_K(O_K))=2^{-r}|D_K|^{1/2} e V(f_K(A))=V(f_K(O_K))N(A). A densidade de centro do reticulado f_K(A) é dada por g_K(f_K(A))=2^{r}(h_K((f_K(A)))^{n}/|D_K|^{1/2}N(A), onde h_K é uma forma quadrática que envolve o raio de empacotamento. Carina Alves, sob minha orientação, realizou estudos sobre reticulados via os corpos ciclotômicos Q(\zeta_p), Q(\zeta_p^r) e Q(\zeta_{pq}), onde não houve preocupação em corpos com discriminante mínimo, análise da norma e minimização da forma quadrática que envolve o raio de empacotamento. Deste modo, uma vez que a teoria dos números algébricos tem sido uma teoria bastante utilizada para a obtenção de novas estruturas de reticulados, o presente projeto tem como objetivo fazer estudos da teoria algébrica dos números envolvendo o cálculo do discriminante de corpos de números abelianos enfocando os seguintes trabalhos: 1. Nóbrega Neto, T. P. da; Interlando, J. C.; Lopes, J. O. D. On Computing Discriminants of Subfields of Q(\zeta_{p^{r}}). Journal of Number Theory, 96, pp. 319-325, 2002.2. Lopes, J.O.K. Discriminants of subfields of Q(\zeta_{2^r}), to appear. 3. Nóbrega Neto, T. P. da; Interlando, J. C.; Lopes, J. O. D. The discriminant of abelian number fields. To appear, 2005. 4. Washington, L.C. Introduction to Ciclotomic Fields. Springer-Verlag, 1982. Esses trabalhos fornecem um método para o cálculo do discriminante de corpos de números abelianos usando o fórmula do condutor discriminante. Observamos que até então somente conheciamos o discriminante de corpos quadráticos e ciclotômicos. Também fará estudos de reticulados no sentido da obtenção de reticulados via corpos de números abelianos com discriminante mínimo, uma vez que o cálculo da densidade de centro de um reticulado obtido via o homomorfismo canônico envolve o discriminante de um corpo de números. Desse modo, encontrar corpos de números com discriminante mínimo é um ponto fundamental para a obtenção de bons reticulados. Outro parâmetro que merece atenção é a norma. Deste modo, será feita uma procura de ideais cuja realização geométrica forneça reticulados com boa densidade de empacotamento através do discriminante, da norma e da forma quadrática que envolve o raio de empacotamento. Também fará o estudo sobre diversidade e de distância produto mínima de um reticulado que também envolve o discriminante de um corpo de números. Além disso, fazer uma busca de reticulados rotacionados via reticulados algébricos visando os subcorpos de corpos ciclotômicos.

Publicações acadêmicas

(Referências obtidas automaticamente das Instituições de Ensino e Pesquisa do Estado de São Paulo)

FERRARI, Agnaldo José. Reticulados algébricos via corpos abelianos. 2008. Dissertação de Mestrado - Universidade Estadual Paulista (Unesp). Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas. São José do Rio Preto São José do Rio Preto.