Identidades polinomiais tensoriais

• Processo: 24/20672-8
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de março de 2025
• Data de Término da vigência: 28 de fevereiro de 2029
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Plamen Emilov Kochloukov
• Beneficiário: Gabriel Guzatti Vilas Boas
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Assunto(s): PI-álgebras Álgebras com identidades polinomiais
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Álgebras regulares | identidades tensoriais | PI-álgebras | produto tensorial torcido | teoria de anéis e álgebra | Álgebras com Identidades Polinomiais

Resumo

Neste projeto de pesquisa de doutorado focaremos em problemas na área da álgebra: a teoria das álgebras com identidades polinomiais. Mais precisamente, pretendemos estudar as chamadas identidades polinomiais tensoriais. Elas foram introduzidas e estudadas por Huber e Procesi em 2021, 2022. Em 2021, Huber encontrou uma identidade tensorial de grau 4 para a álgebra das matrizes de ordem 2; esta é uma variação do polinômio standard. Em 2022 Huber e Procesi começaram o desenvolvimento de métodos para estudar as identidades tensoriais na álgebra matricial de ordem $n$, e descreveram uma série de tais identidades para $M_n(F)$, onde $F$ é um corpo de característica 0. Eles começaram ainda o estudo das identidades tensoriais minimais para $M_n(F)$; ressaltamos aqui que a descrição das identidades tensoriais minimais de $M_n(F)$ ainda está em aberto. (Observe que o bem conhecido teorema de Amitsur e Levitzki, obtido em 1951, resolve tal problema para as identidades ordinárias de $M_n(F)$, sobre qualquer corpo $F$, e ainda sobre qualquer anel comutativo com unidade $F$).Nós começaremos com estudos das identidades tensoriais para a álgebra de Grassmann $E$ de dimensão infinita sobre o corpo $F$. Nosso objetivo será o de descrever completamente as identidades tensoriais de $E$. Em seguida estudaremos as identidades tensoriais de $UT_n(F)$, a álgebra das matrizes triangulares superiores de ordem $n$. Essas duas álgebras têm um papel importante na PI teoria, e as várias identidades polinomiais satisfeitas por elas, foram e continuam sendo objeto de vários estudos. Em 2005, Regev e Seeman iniciaram os estudos das identidades polinomiais em produtos tensoriais torcidos (ou 2-graduados). Eles mostraram que algumas classes de álgebras T-primas são fechadas pelo produto tensorial torcido, e conjecturaram que o produto tensorial torcido de duas álgebras T-primas é PI equivalente a álgebra T-prima. Tal conjectura foi confirmada, de maneira independente, por Freitas e Koshlukov, e por Di Vincenzo e Nardozza, em 2009. Neste projeto pretendemos estudar ainda as identidades polinomiais tensoriais, e com o produto tensorial torcido. Os nossos objetivos nesta direção serão a descrição das identidades tensoriais torcidas de $E\widehat{\otimes} E$, bem como das de $UT_2(F)\widehat{\otimes} E$. Os estudos que o aluno vem fazendo, desde as Iniciações Científicas, e desde o mestrado, serão amplamente usados aqui. Ressaltamos que Gabriel já estudou vários tópicos da teoria das álgebras com identidades polinomiais, e já está familiarizado com os fundamentos da teoria.