Teoria da medida e integral de Lebesgue

• Processo: 25/12869-9
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de setembro de 2025
• Data de Término da vigência: 31 de agosto de 2026
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Análise
• Pesquisador responsável: Rodrigo da Silva Rodrigues
• Beneficiário: João Paulo Araujo Milan
• Instituição Sede: Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia (CCET). Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR). São Carlos , SP, Brasil
• Assunto(s): Medida de Lebesgue
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Integral | medida | Medida de Lebesgue | Teoria da Medida | Teoria da medida e integração

Resumo

Este projeto de Iniciação Científica tem como objetivo introduzir o estudante aos principais conceitos da Teoria da Medida, com foco na construção da integral de Lebesgue e na compreensão de seus fundamentos teóricos. A pesquisa terá início com uma análise histórica e conceitual do desenvolvimento da noção de integral, destacando suas limitações na formulação de Riemann e motivando a necessidade de uma abordagem mais geral. Em seguida, serão estudadas as bases formais da Teoria da Medida, como $\sigma$-álgebras, funções mensuráveis e medidas externas, culminando na construção da medida de Lebesgue com apoio no Teorema de Carathéodory. A etapa final será dedicada aos principais teoremas de convergência - como os teoremas de Beppo Levi, Fatou e da Convergência Dominada -, enfatizando como esses resultados ampliam significativamente a aplicabilidade da integração. Ao final do projeto, espera-se que o aluno tenha desenvolvido domínio técnico e conceitual sobre os fundamentos da teoria, compreendendo a integral de Lebesgue como uma generalização poderosa e necessária frente às limitações do modelo de Riemann.