Domínios errantes em dinâmica bidimensional

• Processo: 25/08532-9
• Modalidade de apoio: Bolsas no Exterior - Pesquisa
• Data de Início da vigência: 01 de setembro de 2025
• Data de Término da vigência: 31 de outubro de 2025
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Edson Vargas
• Beneficiário: Edson Vargas
• Pesquisador Anfitrião: Sun Wenxiang
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Instituição Anfitriã: Peking University (PKU), China
• Vinculado ao auxílio: 23/07076-4 - Dinâmica e geometria em baixas dimensões, AP.TEM
• Assunto(s): Sistemas dinâmicos
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: comportamento histórico | Dinâmica hiperbólica | dominio errante | exemplo de Denjoy | Medida física | medida invariante | Sistemas Dinâmicos

Resumo

Em 1932, Denjoy provou que todo difeomorfismo do círculo com derivada contínua e de variação limitada não possui intervalo errante. Então (com a teoria de número de rotação introduzida anteriormente por Poincaré) segue que um tal difeomorfismo é topologicamente conjugado a uma rotação irracional. Ao mesmo tempo, Denjoy construiu difeomorfismos do círculo continuamente diferenciáveis (conhecidos atualmente como difeomorfismos de Denjoy) que exibem intervalos errantes. Difeomorfismos de Denjoy são apenas semiconjugados a uma rotação irracional. Esses resultados de Denjoy foram estendidos com grande sucesso para vários tipos de sistemas dinâmicos em dimensionão 1. Para difeomorfismos em dimensão 2, a teoria de domínios errantes análoga, embora já possua uma extensa literatura, ainda está bastante inexplorada. A tese de que difeomorfismos suficientemente diferenciáveis não possuem domínios errantes não é necessariamente verdadeira. Por exemplo, McSwiggen provou a existência de difeomorfismos (com a primeira e a segunda derivadas contínuas) do toro bidimensional que é semiconjugado a uma translacão irracional e que possui domínio errante. Por outro lado, Norton-Sullivan provaram que um difeomorfismo do toro três vezes continuamente diferenciável e semiconjugado a uma translação irracional do toro não possui domínio errante. Neste projeto, extendendo resultados que obtivemos recentemente, estamos provando que existem difeomorfismos continuamente diferenciáveis que possuem domínios errantes e que são semiconjugados a um difeomorfismo que satisfaz o axioma A de Smale. Posteriormente, em continuidade a esse projeto, planejamos verificar (análogo ao resultado de Norton-Sullivan) que certos difeomorfismos suficientemente diferenciável não possui domínio errante. Ressaltamos que um diffeomorfismo que satisfaz o axioma A possui uma direção de expansão e outra de contração uniformes. Isso torna a questão sobre a existência de um difeomorfismo (na sua classe de semiconjugação) que exiba um domínio errante particularmente interessante.