Estudo de uma EDP elíptica geométrica em uma superfície compacta

Resumo

Equações diferenciais parciais em variedades são geralmente estudadas com uso de técnicas analíticas tradicionais. Combinando-se tais técnicas com elementos da geometria da variedade podemos melhorá-las, ou mesmo desenvolver novas estratégias para abordar as equações. O método que temos utilizado estuda uma equação do tipo elíptico não linear da forma $\Delta u+f(x)e{2u}-\lambda=0$, definida em uma superfície de Riemann. Os principais resultados que temos obtido referem-se à unicidade de soluções, mas também provamos existência ou não existência em certos casos. Os aspectos geométricos são decisivos para essas demonstrações, e não parece nem um pouco trivial obtê-las usando-se unicamente Análise. Os resultados dessa pesquisa estão num artigo [Go2] que consta nas referências do Projeto, e que já foi aceito para publicação na "Differential Geometry and Its Applications". A continuação desse trabalho é o conteúdo de nosso projeto, e resume-se em encontrar parâmetros maximais de existência e /ou unicidade para a equação acima, usando-se a cardinalidade do divisor da seção holomórfica, cuja norma quadrada é a função $f(x) $. Também avaliamos as aplicações desses resultados em outros problemas geométricos, como no estudo de imersões isométricas de curvatura média constante em formas espaciais [GU]. (AU)