Sobre a controlabilidade e a estabilização da equação de Benjamin e sua generalização num domínio periódico

Resumo

A equação de Benjamin é uma equação integro-diferencial que modela a propagação unidirecional de ondas longas num sistema de dois fluidos onde o fluido de embaixo com maior densidade é infinitamente profundo e a interface é sujeita a capilaridade. Durante o programa doutoral, nós estudamos o problema de controlabilidade e estabilização da equação de Benjamin num domínio periódico. Nós obtivemos importantes resultados parciais nesta direção para a equação de Benjamin, especificamente provamos um resultado de controle para dado inicial pequeno. Mais ainda, provamos que a equação de Benjamin é globalmente controlável e globalmente estabilizável. Primeiro, com ajuda de certas propriedades de propagação de compacidade e propagação de regularidade em espaços de Bourgain associados ao sistema linear, foi obtido um resultado de estabilidade global exponencial correspondente a uma lei de feedback natural. Nosso foco, durante a bolsa BEPE, é melhorar o resultado de estabilização construindo uma lei de feedback suave, variando com o tempo, para garantir a estabilização semiglobal com uma taxa de decaimento exponencial arbitrariamente grande. Além disso, queremos estender nossos resultados para a equação de Benjamin bidimensional. Também, neste projeto, nós queremos estudar dois problemas importantes. O primeiro é a controlabilidade e estabilização da equação de Benjamin generalizada. O segundo é o problema de controlabilidade exata na fronteira para a equação de Benjamin num domínio limitado. (AU)