Teoria de Noether-Lefschetz em variedades tóricas

Resumo

Em 2012, Bruzzo e Grassi demonstraram uma versão do Teorema de Noether-Lefschetz para variedades tóricas, anunciando que, em uma hipersuperfície quase-suave genérica X de uma variedade tórica de Oda simplicial e projetiva de grau suficientemente alto, as classes de cohomologia de tipo (k,k) vem da variedade ambiente. O chamado "Noether-Lefschetz locus" é o conjunto das hipersuperfícies quase-suaves com grau fixo tais que pelo menos uma classe cohomologia de tipo (k,k) não vem do espaço ambiente. A tese de doutoramento do candidato focou no estudo de tais objetos geométricos. Descrevemos aqui os resultados mais importantes da tese para descrever o contexto da pesquisa futura. Ne seção 2, nós enunciamos que, sob certas condições, a dimensão de cada componente irredutível do Noether-Lefschetz locus está entre cotas inferiores e superiores. Na seção 3, continuando o estudo destas componentes irredutíveis, nós afirmamos que, assintoticamente, os componentes cuja codimensão atinge a cota superior consistem em hipersuperfícies contendo uma subvariedade k-dimensional de grau pequeno. Na seção 4, mostramos uma extensão natural e diferente do Teorema de Noether-Lefschetz e, portanto, do Noether-Lefschetz locus. Para obter esses teoremas, tivemos que estender alguns resultados e idéias clássicas no contexto de espaços projetivos para um cenário mais geral, isto é, para variedades tóricas projetiva simpliciais. Levando adiante estes desenvolvimentos, esperamos obter novos resultados em diferentes tópicos, principalmente relacionados à teoria de Noether-Lefschetz, apresentados na última seção do plano de pesquisa. (AU)