Um estudo de grafos infinitos por meio do problema de determinar Unfriendly Partitions

Resumo

Este projeto de pesquisa tem por finalidade estudar propriedades de grafos infinitos por meio das ferramentas desenvolvidas na Teoria de Grafos e na Teoria dos Conjuntos para abordar o problema de existência de unfriendly partitions, que é trivial no contexto de grafos com finitos vértices mas que apresenta relativa riqueza se proposto para grafos quaisquer.Embora se apresente como um simples questinamento a respeito de colorações de grafos, a compreensão dos resultados desenvolvidos até então sobre a conjectura do unfriendly partition elucida também outras propriedades estruturais de grafos infinitos. Por exemplo, a existência de unfriendly partitions em grafos rayless pode ser confirmada uma vez estabelecido que essa família de grafos é obtida por meio de um determinado procedimento hierárquico. A respeito da conjectura do unfriendly partition em sua formulação mais geral, por outro lado, muitas perguntas podem ser formuladas com base nos únicos contraexemplos até então publicados, apresentados pelos matemáticos Milner e Shelah. Esses grafos possuem todos os vértices de grau infinito e cardinalidade maior ou igual ao primeiro cardinal limite maior que o contínuo. Consistentemente, porém, é possível concluir que são necessários ao menos contínuo vértices para produzir um grafo com as propriedades descritas por esses autores. Estudar a existência de unfriendly partitons entre esses dois cenários limites, portanto, requer também a compreensão de ferramentas de fundamentos da matemática.