Problemas de divisão sobre sequências especiais

Resumo

Um dos problemas mais antigos em Teoria Analítica dos Números (o problema clássico de divisão de Dirichlet) é determinar a menor ordem de magnitude do erro na expansão assintótica de expansion of $D(x) \ := \ \sum\limits_{n \leq x} \sum\limits_{d \mid n} 1$. Variantes desse problema foram consideradas ao longo dos anos impondo-se algumas condições sobre o índice de soma n, ou considerando apenas os divisores d de n que satisfazem certos requisitos. Esse projeto tem 3 objetivos interdependentes com diferentes níveis de complexidade. O primeiro e segundo objetivossão obter expansões assintóticas para $D$ quando $n \leq x$ é tomado em alguns subconjuntos $K$ do conjunto $\mathcal A_k$ dos números inteiros $k$-free. Estamos interessados principalmente nos casos $K = \mathcal A_k$ (primeiro objetivo) e $K = \mathcal A_k \cap \{ j \in \ \mathbb N : j \equiv a \ (mod) \ q \}$ (segundo objetivo). Depois de cumpridos esses objetivos, estaremos interessados em obter resultados análogos no caso em que $\mathcal A_k$ é substituído por algumas classes de $B$-free integers. O terceiro objetivo desse projeto é usar as ferramentas e habilidades desenvolvidas nas tarefas anteriores para compreender uma conjectura em aberto que conecta um problema de divisão complexo com o comportamento estatístico da sequência de partes fracionárias $(\alpha n^2)_{n \geq 1}, \ \alpha \ \notin \mathbb Q$. (AU)