Versões não-lineares do teorema clássico de Banach-Stone

• Processo: 12/21091-1
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Mestrado
• Data de Início da vigência: 01 de março de 2013
• Data de Término da vigência: 28 de fevereiro de 2015
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Análise
• Pesquisador responsável: Eloi Medina Galego
• Beneficiário: André Luis Porto da Silva
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Assunto(s): Espaços de Banach Análise não linear
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Análise Não-Linear | generalizaçoes do Teorema de Banach-Stone | perturbaçoes de isometrias em espaços de Banach | Quase isometrias entre espaços de Banach | Espaços de Banach

Resumo

O candidato estudará em detalhes dois artigos recentes (de 2011) de RafaB Górak,"Coarse version of the Banach-Stone theorem" e "Pertubations of isometries between Banach spaces". O primeiro artigo apresenta uma melhora de um resultado análogo ao teorema de Banach-Stone, devido a Y. Dutrieux e N. J. Kalton, que contempla funções bi-Lipschitz. Segue um resumo do mesmo.Seja $X$ um espaço compacto, e $C(X)$ o espaço de Banach de todas as funções contínuas a valores reais em $X$. Um $(\varepsilon,\delta)$-net $N_E$ num espaço de Banach $E$ é um subconjunto $N$ de $E$ com as propriedades seguintes:(i) $d(x,y)\geq\delta$ para quaisquer dois elementos distintos $x,y,\in N$. (ii)$d(x,N)<\varepsilon$ para todo $x\in E$. Para uma função Lipschitz $T$ de um net no espaço de Banach $E$ para outro espaço de Banach $F$, nós denotamos por $l(T)$, a norma Lipschitz de $T$, e definimos: $$d_N(E,F) = inf\{l(T)\cdot l(T^{-1})\},$$ onde o ínfimo é tomado sobre todas as funções bi-Lipschitz $T$ entre nets $N_E$ e $N_F$ nos espaços de Banach $E$ e $F$, respectivamente. Além de outras coisas, Y. Dutrieux e N. J. Kalton mostrou que para dois espaços compactos $X$ e $Y$, se $d_N(E,F)<17/16$, então os espaços $X$ e $Y$ são homeomorfos. Através de uma sequência de estimativas, o autor do artigo mostrou que a conclusão mencionada acima é válida também se $d_N(E,F)<6/5$. O autor também estima a distância de uma coarse quasi-isometry $T$ entre os espaços de Banach $C(X)$ e $C(Y)$ para uma isometria entre esses espaços. Para concluir o primeiro artigo, o autor propõe os dois problemas seguintes:Problema 1. É verdade que para todo espaço topológico compacto X e Y a desigualdade $d_N(C(X),C(Y))<2$ implica que X e Y são homeomorfos?Problema 2. Qual a resposta para o Problema 1 se considerarmos apenas compactos X e Y enumeráveis? E se X é uma sequência convergente?Por fim, o segundo artigo apresenta resultado análogo ao do primeiro, mas para espaços $C_0(X)$ onde $X$ é localmente compacto.

Publicações acadêmicas

(Referências obtidas automaticamente das Instituições de Ensino e Pesquisa do Estado de São Paulo)

SILVA, André Luis Porto da. Versões não-lineares do teorema clássico de Banach-Stone. 2015. Dissertação de Mestrado - Universidade de São Paulo (USP). Instituto de Matemática e Estatística (IME/SBI) São Paulo.