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Versões não-lineares do teorema clássico de Banach-Stone

Processo: 12/21091-1
Linha de fomento:Bolsas no Brasil - Mestrado
Vigência (Início): 01 de março de 2013
Vigência (Término): 28 de fevereiro de 2015
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Análise
Pesquisador responsável:Eloi Medina Galego
Beneficiário:André Luis Porto da Silva
Instituição-sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
Assunto(s):Espaços de Banach   Análise não linear

Resumo

O candidato estudará em detalhes dois artigos recentes (de 2011) de RafaB Górak,"Coarse version of the Banach-Stone theorem" e "Pertubations of isometries between Banach spaces". O primeiro artigo apresenta uma melhora de um resultado análogo ao teorema de Banach-Stone, devido a Y. Dutrieux e N. J. Kalton, que contempla funções bi-Lipschitz. Segue um resumo do mesmo.Seja $X$ um espaço compacto, e $C(X)$ o espaço de Banach de todas as funções contínuas a valores reais em $X$. Um $(\varepsilon,\delta)$-net $N_E$ num espaço de Banach $E$ é um subconjunto $N$ de $E$ com as propriedades seguintes:(i) $d(x,y)\geq\delta$ para quaisquer dois elementos distintos $x,y,\in N$. (ii)$d(x,N)<\varepsilon$ para todo $x\in E$. Para uma função Lipschitz $T$ de um net no espaço de Banach $E$ para outro espaço de Banach $F$, nós denotamos por $l(T)$, a norma Lipschitz de $T$, e definimos: $$d_N(E,F) = inf\{l(T)\cdot l(T^{-1})\},$$ onde o ínfimo é tomado sobre todas as funções bi-Lipschitz $T$ entre nets $N_E$ e $N_F$ nos espaços de Banach $E$ e $F$, respectivamente. Além de outras coisas, Y. Dutrieux e N. J. Kalton mostrou que para dois espaços compactos $X$ e $Y$, se $d_N(E,F)<17/16$, então os espaços $X$ e $Y$ são homeomorfos. Através de uma sequência de estimativas, o autor do artigo mostrou que a conclusão mencionada acima é válida também se $d_N(E,F)<6/5$. O autor também estima a distância de uma coarse quasi-isometry $T$ entre os espaços de Banach $C(X)$ e $C(Y)$ para uma isometria entre esses espaços. Para concluir o primeiro artigo, o autor propõe os dois problemas seguintes:Problema 1. É verdade que para todo espaço topológico compacto X e Y a desigualdade $d_N(C(X),C(Y))<2$ implica que X e Y são homeomorfos?Problema 2. Qual a resposta para o Problema 1 se considerarmos apenas compactos X e Y enumeráveis? E se X é uma sequência convergente?Por fim, o segundo artigo apresenta resultado análogo ao do primeiro, mas para espaços $C_0(X)$ onde $X$ é localmente compacto.

Publicações acadêmicas
(Referências obtidas automaticamente das Instituições de Ensino e Pesquisa do Estado de São Paulo)
SILVA, André Luis Porto da. Versões não-lineares do teorema clássico de Banach-Stone. 2015. Dissertação de Mestrado - Universidade de São Paulo (USP). Instituto de Matemática e Estatística São Paulo.

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