Teoria de Galois, grupos profinitos e aplicações em formas quadráticas

• Processo: 14/08234-3
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de junho de 2014
• Data de Término da vigência: 31 de maio de 2015
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Hugo Luiz Mariano
• Beneficiário: Kaique Matias de Andrade Roberto
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Assunto(s): Formas quadráticas Grupos finitos Grupos profinitos Teoria de Galois
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Formas quadráticas | Grupo Profinito | Teoria de Galois | Matemática

Resumo

No contexto da Teoria de Galois infinita, certas questões sobre um corpo base são bem respondidas tendo disponível uma extensão galoisiana infinita deste, por exemplo, o grupo de Galois absoluto do corpo $F$, $Gal(F^s|F)$, onde $F^s$ designa um fecho separável de $F$.Todavia, neste contexto ampliado, paga-se o preço de ter que introduzir noções topológicas (a correspondência bijetiva é entre subextensões e subgrupos fechados). Assim, desenvolveremos o arcabouço topológico e categorial necessários para isso. No desenvolvimento da teoria, provaremos que os grupos de automorfismos de extensões galoisianas arbitrárias são profinitos, i.e. são limites projetivos de grupos finitos e discretos, herdando assim uma topologia booleana compatível com as operações de grupo. No processo de detecção de propriedades dos grupos de Galois absolutos, desenvolveremos estudos sobre cohomologia galoisiana e sobre cohomologia de grupos profinitos, em geral. Um caso de interesse particular para a Teoria Algébrica das Formas Quadráticas (TAFQ) é o "anel graduado de cohomologia de um corpo", $H(F):=H(Gal(F^s|F); \pm 1)$. Desenvolveremos assim aplicações no estudo da TAFQ, relacionando o anel graduado de Witt do corpo $F$ (obtido a partir do anel de Witt de $F$ que classifica suas formas quadráticas regulares e não isotrópicas) com o anel graduado de cohomologia de $F$ e o anel graduado obtido da k-teoria reduzida de Milnor. Em sequência, estudaremos os três anéis graduados no contexto da conjectura Milnor (demonstrada no final dos anos 1990), que identifica os três anéis, e à utilização desta para resolver outras questões sobre anel graduado de Witt.