Identidades com traço e teoria dos invariantes

• Processo: 23/01635-1
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Mestrado
• Data de Início da vigência: 01 de maio de 2023
• Data de Término da vigência: 28 de fevereiro de 2025
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Plamen Emilov Kochloukov
• Beneficiário: Gabriel Guzatti Vilas Boas
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 18/23690-6 - Estruturas, representações e aplicações de sistemas algébricos, AP.TEM
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Algebras com traço | Identidades com Traço | invariantes dos grupos clássicos | Teoria de anéis e álgebras

Resumo

Neste projeto de mestrado pretendemos estudar tópicos clássicos da teoria das álgebras com identidades polinomiais. Começamos com uma breve revisão: identidades polinomiais, PI álgebras, variedades de álgebras, T-ideais, o processo de linearização, estrutura homogênea e multilinear das álgebras relativamente livres, a teoria das representações do grupo simétrico e do grupo geral linear. Nesta parte o que foi aprendido durante os anos de iniciação científica, com bolsa desta Fundação, será muito bem vindo. Em seguida estudaremos as matrizes genéricas e suas propriedades fundamentais. Tais estudos nos levarão de maneira natural ao conceito da ação de um grupo sobre as $d$-uplas de matrizes genéricas, e como consequência, ao conceito de invariante de uma ação. Revisaremos do ponto de vista da teoria dos invariantes, o teorema clássico de Newton sobre o anel dos polinômios simétricos e as fórmulas de Newton que relacionam as funções simétricas elementares com as somas de potências. Em seguida faremos um breve ``desvio'' para recordar alguns conceitos da teoria das álgebras centrais e simples com o objetivo de ver o teorema de Skolem e Noether. Estudaremos a ação do grupo geral linear sobre $d$-uplas de matrizes por conjugação, e a ação induzida no anel dos polinômios cujas variáveis são as entradas das $d$ matrizes genéricas. Seguindo os trabalhos fundamentais de Procesi, estudaremos a descrição dos invariantes de tal ação. Assim obteremos o primeiro e o segundo teorema fundamental da teoria dos invariantes de matrizes. Como consequência obteremos a descrição das identidades com traço satisfeitas na álgebra das matrizes de ordem $n$. No final, veremos aplicações para o caso de identidades com traço e involução, e estudaremos o teorema de Dubnov, Ivanov, Nagata e Higman, e as cotas inferior e superior da nilpotência, encontradas respectivamente por Kuzmin e por Razmyslov.