Uma introdução à Topologia dos Espaços Métricos com aplicações à Análise/Equações Diferenciais e Computação Científica

• Processo: 25/22688-1
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de março de 2026
• Data de Término da vigência: 28 de fevereiro de 2027
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: João Vitor da Silva
• Beneficiário: Joaquim Caetano Braga Silva
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Assunto(s): Espaços métricos
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Espaços Métricos | Introdução à Topologia Geral | Teorema de Áscoli-Arzelá e suas aplicações | Teorema de Baire e suas aplicações | Teorema de Stone-Weierstrass e suas aplicações | Teorema do Ponto Fixo de Banach e suas aplicações | Análise e Topologia

Resumo

Neste projeto visitaremos vários tópicos de topologia geral como espaços normados, topológicos e métricos, compacidade, continuidade e conexidade de funções para sermos capazes de provar alguns resultados clássicos de topologia e espaços métricos (por exemplo, Teorema de Baire, Teorema das aproximações sucessivas, Teorema de Stone-Weierstrass e Teorema de Áscoli-Arzelá). Como consequência de nossos estudos seremos capazes de provarmos alguns resultados fundamentais no contexto de Análise, Equações Diferenciais Ordinários (EDOs) e Equações Diferenciais Parciais (EDPs), dos quais podemos citar os resultados de existência para equações funcionais, integrais, ordinárias, parciais entre outros, Como resultados colaterais de nossos estudos apresntarems aplicações dos Teoremas de Áscoli-Arzelá, Stone-Weierstrass (para funções que se anulam no infinito, de Baire e dos pontos fixos de Brouwer e de Schauder).Um dos resultados fundamentais que estudaremos será:\textbf{Teorema do Ponto Fixo de Banach:} Seja \( X \) um espaço métrico completo e seja \( T: X \to X \) uma contração. Então, tem-se: 1. Existe um e somente um \( x^* \) tal que \( T x^* = x^* \). Tal ponto é chamado de ponto fixo da contração \( T \); 2. Para todo \( x_1 \in X \), a sequência \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \), definida por \[x_{n+1} = T x_n \quad \text{ou ainda} \quad x_{n+1} = T^n x_1,\] converge para o ponto fixo \( x^* \); 3. Para todo \( n \), temos a estimativa \[d(x_n, x^*) \leq \frac{c^{n-1} d(x_1, x_2)}{1 - c} \quad (\text{distância de} \,\,x_1\,\,\text{ao ponto fixo}\,\,\,x^{\ast}),\] onde \( c \in (0, 1) \) é a constante de contração de \( T \) e \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) é a sequência definida no item (2) acima.Adicionalmente, estudaremos três aplicações do {\bf Teorema do Ponto Fixo de Banach}. A primeira se trata do \textit{Teorema de Existência e Unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias}. A segunda tem como tema uma aplicação na área de \textit{compressão de imagens na internet}.Já a terceira aplicação será apresentada \textit{como funciona o buscador do Google} e qual é a causa do seu sucesso.Finalmente, explaremos os conceitos, demonstrações e aplicações dos seguintes teoremas clássico na interface de Análise/Topologia:\begin{itemize}\item[\checkmark] Teorema de Baire;\item[\checkmark] Teorema de Stone-Weierstrass;\item[\checkmark] Teorema Áscoli-Arzelá.\end{itemize}Os pré-requisitos (desejáveis e não obrigatórios) são conhecimentos de Cálculo em várias variáveis, Álgebra Linear (Espaços Vetoriais) e noções de Análise Real. (AU)