('jota','ômega')-Álgebras e identidades polinomiais de álgebras representáveis Zariski-fechadas

Autor(es)

Guilherme Vicentin de Toledo

• Tipo de documento: Dissertação de Mestrado
• Imprenta: Campinas, SP.
• Instituição: Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
• Data de defesa: 2017-10-09

Membros da banca

Lucio Centrone; Plamen Emilov Kochloukov; Ivan Chestakov

• Orientador: Lucio Centrone

Resumo

Desenvolvemos neste trabalho aspectos de duas áreas da álgebra moderna e a conexão entre elas. Em álgebra abstrata, generalizamos a noçãoo de álgebra com esquemas de operadores de Higgins de "Algebras with a Scheme of Operators", que aqui se tornam $( I,\Omega)-$álgebras, usando uma linguagem própria de álgebras universais. Dados conjuntos de índices $ I$ e $\Omega$ e funções $dom:\Omega\rightarrow \mathcal{P}(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} I^{n})$ e $codom:\Omega\rightarrow\mathcal{P}( I)$, definimos uma $( I,\Omega)-$álgebra é um par $\mathcal{A}=(\{A_{ i}\}_{ i\in I}, \{f^{\omega}_{\mathcal{A}}\}_{\omega\in\Omega})$ tal que as $f^{\omega}_{\mathcal{A}}$ são funções de $\bigcup_{( i_{1}, ... , i_{n})\in dom(\omega)}A_{ i_{1}}\times\cdots\times A_{ i_{n}}$ em $\bigcup_{ i\in codom(\omega)}A_{ i}$. E na teoria de identidades polinomiais estudamos aquelas das álgebras representáveis Zariski-fechadas. Por $A$ ser representável queremos dizer que a $F-$álgebra $A$ admite um monomorfismo $\rho:A\rightarrow B$ em uma $K-$álgebra $B$ finitamente gerada, com $F$ e $K$ corpos. E por Zariski-fechada, sendo $B$ e $K^{n}$ isomorfos como espaços vetoriais, queremos dizer que o fecho topológico de $\rho(A)$ em $B$ é o próprio $\rho(A)$ quando munimos $B$ da topologia de Zariski herdada de $K^{n}$, assumindo $K$ algebricamente fechado. A conexão entre ambos, desenvolvida minunciosamente ao longo do texto, se baseia nas álgebras universais quando as definimos de maneira apropriada para nossos intentos. Para isso, divergimos da definição clássica de álgebra universal para múltiplos tipos onde, dados conjunto de índices $ I$ e conjunto de símbolos funcionais $\Omega$ munidos de funções $dom:\Omega\rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}} I^{n}$ e $codom:\Omega\rightarrow I$, uma $\Omega-$álgebra universal de múltiplos tipos é um par $\mathcal{A}=(\{A_{ i}\}_{ i\in I}, \{f^{\omega}_{\mathcal{A}}\}_{\omega\in\Omega})$ tal que se $dom(\omega)=( i_{1}, ... , i_{n})$ e $codom(\omega)= i$, então $f^{\omega}_{\mathcal{A}}:A_{ i_{1}}\times\cdots\times A_{ i_{n}}\rightarrow A_{ i}$. Esperamos com esse texto formalizar os elementos de álgebras universais necessários ao estudo de identidades polinomiais em álgebras representáveis que nos permite o cálculo das codimensões no caso Zariski-fechado, além de fornecer uma prova do teorema de Birkhoff, ou seu análogo apropriado, para uma vasta classe de $( I,\Omega)-$álgebras, que chamaremos parciais, e que ainda generalizam a noção de Higgins. Para a prova do teorema de Birkhoff, desenvolvemos alguns resultados elementares de homomorfismos, termos e suas avaliações, passamos para operadores de classe e finalmente para álgebras $K-$livres. Já para o cálculo das já referidas codimensões primeiro fazemos uma breve introdução aos elementos da topologia de Zariski que nos são necessários, provando também que se $A$ é uma $F-$subálgebra de $K^{n}$ então seu fecho topológico é uma $K-$álgebra. Então trabalhamos a noção de conjunto teste: no caso geral, um conjunto teste para uma $( I,\Omega)-$álgebra $\mathcal{A}=(\{A_{ i}\}_{ I}, \{f^{\omega}_{\mathcal{A}}\}_{\Omega})$ á uma família $S=\{S_{ i}\}_{ i\in I}$ de subconjuntos $S_{ i}\subseteq A_{ i}$ tais que $(\tau_{1}, \tau_{2})$ é uma identidade de $\mathcal{A}$ se e somente se $\tau_{1}^{\chi}=\tau_{2}^{\chi}$ para toda avaliação $\chi$ com imagem em $S$. Provamos o teorema principal do trabalho ao restringir nossas assinaturas ao caso multilinear, nos permitindo achar um limitante superior para as codimensões (AU)

• Processo FAPESP: 16/08708-0 - Álgebras em variedades de álgebras universais
• Beneficiário: Guilherme Vicentin de Toledo
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Mestrado