Anormalidade em controle ótimo com restrições: condições de otimalidade

Resumo

Este projeto de pesquisa lida com a teoria de problemas anormais e a sua aplicação em controle ótimo. Por um “problema anormal”, entendemos um problema de otimização com restrições (consideramos primeiro um problema de dimensão finita) em que a hipótese de regularidade convencional (a chamada condição de Lyusternik) no ponto de mínimo não é válida. Isto implica que a derivada da função restrição degenera no ponto de mínimo. Então, o minimizador acaba por ser um ponto singular da aplicação que define as restrições. Tais minimizadores são chamados anormais. O interesse desta pesquisa encontra-se em várias classes de condições de otimalidade para minimizadores anormais e, no contexto da teoria de controle ótimo, na investigação de problemas de não-controlabilidade provenientes de diversas aplicações em engenharia. Observe que, para problemas de otimização anormais, a regra de multiplicadores de Lagrange clássica não é mais informativa, uma vez que ela é trivialmente satisfeita. Mais ainda, como sabemos, as condições necessárias de segunda ordem clássicas não são válidas para problemas anormais. Por si só, a “anormalidade” significa que a aproximação linear local para um problema tem uma estrutura muito diferente do que o problema não-linear original. Isto pode ser explicado pelo seguinte fato fundamental: a demonstração do teorema da função inversa clássico não é válida na proximidade de pontos anormais. Portanto, a questão dos teoremas da função inversa na proximidade de pontos (singulares) anormais de uma aplicação suave (uma questão em si interessante) torna-se extremamente crucial para a presente teoria e desempenha um papel importante na derivação das condições extremais para minimizadores anormais. (AU)